Gemiddelde kromming

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is de gemiddelde kromming $H$ van een oppervlak $S$ een extrinsieke maat, die de kromming van een ingebed oppervlak in een omliggende ruimte, zoals een Euclidische ruimte, beschrijft.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Laat $p$ een punt op het oppervlak $S$ zijn. Beschouw alle krommen $C_{i}$ op $S$ , die het punt $p$ op het oppervlak snijden. Iedere $C_{i}$ heeft een bijbehorende kromming $K_{i}$ gegeven op $p$ . Van deze krommingen $K_{i}$ , is er ten minste een, $\kappa _{1}$ , als maximaal en een, $\kappa _{2}$ als minimaal gekarakteriseerd en deze twee krommingen $\kappa _{1},\kappa _{2}$ staan als de hoofdkrommingen van $S$ bekend.

De gemiddelde kromming op $p\in S$ is het gemiddelde van deze twee krommingen^[1], vandaar de naam:

H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).

Meer in het algemeen wordt de gemiddelde kromming voor een hyperoppervlak, $T$ , gegeven^[2] door

H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.

Minimaaloppervlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Zie minimaaloppervlak voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een minimaaloppervlak is een oppervlak met op alle punten een gemiddelde kromming van nul. Klassieke voorbeelden van minimaaloppervlakken zijn de catenoïde, de helicoïde en het Enneper-oppervlak. Recente ontdekkingen zijn onder meer het minimaaloppervlak van Costa en de gyroïde.

Een uitbreiding van het idee van een minimaaloppervlak zijn oppervlakken met een constante gemiddelde kromming.