Geschiedenis van de groepentheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De opmaak van dit artikel is nog niet in overeenstemming met de conventies van Wikipedia. Mogelijk is ook de spelling of het taalgebruik niet in orde. Men wordt uitgenodigd deze pagina aan te passen.
Opgegeven reden:
'Moeizaam geschreven, hier en daar halfafgemaakte zinnen.

De geschiedenis van de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, waarin men groepen in hun verschillende vormen bestudeert, is in verschillende parallelle richtingen geëvolueerd. Er zijn drie historische bronnen van de groepentheorie aan te wijzen: de theorie van de algebraïsche vergelijkingen, de getaltheorie en de meetkunde[1][2][3] Onder de eerste onderzoekers op het gebied van de groepentheorie vindt men Lagrange, Abel en Galois.

Begin 19e eeuw: voor 1870[bewerken]

De eerste studie van groepen als zodanig gaat waarschijnlijk terug op het werk van Lagrange uit de late 18e eeuw. Dit werk stond echter op zichzelf. Meestal worden publicaties uit 1846 van Cauchy en postuum Galois aangeduid als het begin van de groepentheorie. Men kan drie belangrijke ontwikkelingen aanwijzen die grote invloed hebben gehad op de formulering van de groepentheorie.

Ontwikkeling van permutatiegroepen[bewerken]

Een van drie fundamentele wortels van de groepentheorie was de zoektocht naar oplossingen van veeltermvergelijkingen van graad vier en hoger.

Een vroege bron vindt men in het probleem van de vorming van een vergelijking van graad m, die als wortels m van de wortels van een gegeven vergelijking van graad n > m heeft. Voor eenvoudige gevallen gaat dit probleem terug naar Hudde (1659). Saunderson (1740) merkte op dat de bepaling van de kwadratische factoren van een bikwadratische uitdrukking noodzakelijkerwijs tot een zesdegraadsvergelijking leidde, en Le Sœur (1748) en Waring (1762 tot 1782) hebben dit idee verder uitgewerkt.[3]

Galois op vijftienjarige leeftijd, getekend door een klasgenoot.

Een gemeenschappelijk fundament voor de theorie van vergelijkingen op basis van de groep van permutaties werd gevonden door de wiskundige Lagrange (1770, 1771), en hierop werd de theorie van de substituties gebouwd. Hij ontdekte dat de wortels van alle "oplossingen" (résolvantes, réduites), die hij onderzocht rationale functies van de wortels van de respectieveljke vergelijkingen zijn. Om de eigenschappen van deze functies te kunnen bestuderen vond hij een Calcul des Combinaisons uit. Ook het werk van zijn tijdgenoot Vandermonde (1770) liep vooruit op de komende groepentheorie[3].

Ruffini (1799) probeerde een bewijs te vinden dat het onmogelijk was vijfdegraads- en hogere vergelijkingen op te lossen. Ruffini onderscheidde wat nu intransitieve, transitieve, imprimitieve en primitieve groepen, en gebruikte in 1801 de groep van een vergelijking onder de naam l'assieme delle permutazioni. Hij publiceerde ook een brief van Abbati aan hemzelf, waarin het groepsidee promineent naar voren komt[3].

Galois vond dat als r1, r2, ... rn de n wortels van een vergelijking zijn, er altijd een groep van permutaties van de r's is zodanig dat

  • elke functie van de wortels die onveranderlijk is onder substituties van de groep rationeel is, en
  • omgekeerd, elke rationaal bepaalbare functie van de wortels invariant is onder de substituties van de groep.

In moderne termen, de oplosbaarheid van de Galoisgroep, die verbonden is aan de vergelijking, bepaalt de oplosbaarheid van de vergelijking in radicalen. Galois heeft ook bijgedragen aan de theorie van de modulaire vergelijkingen en aan die van de elliptische functies. Zijn eerste publicatie op het gebied van de groepentheorie publiceerde hij reeds op achttienjarige leeftijd (1829), maar zijn bijdragen trokken weinig aandacht. Dit veranderde na de postume publicatie van zijn verzamelde werken in 1846 (Liouville, Vol. XI)[4][5]. Galois wordt heden ten dage geëerd als de eerste wiskundige die de groepentheorie en de veldentheorie met elkaar verbond, in de theorie die naar hem Galoistheorie wordt genoemd[3].

Groepen, die vergelijkbaar zijn met Galoisgroepen worden (vandaag de dag) permutatiegroepen genoemd, een concept dat in het bijzonder door Cauchy is onderzocht. Een aantal belangrijke stellingen uit de begintijd van de groepentheorie zijn te danken aan Cauchy. Cayleys On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (Over de groepentheorie, in afhankelijkheid van de symbolische vergelijking θn = 1) (1854)) geeft de eerste abstracte definitie van eindige groepen

Groepen gerelateerd aan de meetkunde[bewerken]

Sophus Lie

De tweede bron, het systematisch gebruik van groepen in de meetkunde, voornamelijk in de gedaante van symmetriegroepen, werd ingeleid door Kleins Erlanger Programm (1872).[6] De studie van wat nu Lie-groepen heet begon in 1884 stelselmatig door Sophus Lie, en werd gevolgd door werk van Killing, Study, Schur, Maurer, en Cartan. De discontinue (discrete groepentheorie) werd opgebouwd door Felix Klein, Sophus Lie, Poincaré en Charles Émile Picard, in het bijzonder in verband met modulaire vormen en monodromie.

Verschijningen van groepen in de Getaltheorie[bewerken]

De derde bron van de groepentheorie was de getaltheorie. Bepaalde abelse groeps-structuren werden door Gauss al impliciet gebruikt in zijn getaltheoretische werk, en later in de eeuw meer expliciet door Kronecker[7]. Vroege pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen werden door Kummer tot een climax geleid door de invoering van groepen die factoriseren in priemgetallen beschrijven[8].

Convergentie[bewerken]

Groepentheorie als in toenemende mate onafhankelijk onderwerp werd populair gemaakt door Serret, die sectie IV van zijn algebra aan deze theorie wijdde; door Camille Jordan, wiens "Traité des substitutions et des équations algébriques" (1870) een klassieker werd; en door Eugen Netto (1882), wiens Theory of Substitutions and its Applications to Algebra door Cole (1892) in het Engels werd vertaald. Andere groepstheoretici van de negentiende eeuw waren Bertrand, Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker en Émile Léonard Mathieu;[3] evenals Burnside, Dickson, Hölder, Moore, Sylow en Weber.

De convergentie van de drie bovengenoemde bronnen tot een uniforme groepentheorie startte met Jordans, Traité, en von Dyck (1882), die als eerste een groep in moderne zin definieerde. De handboeken van Weber en Burnside hielpen bij de totstandkoming van de groepentheorie als een aparte wiskundige discipline[9]. De abstracte groepsformulering was niet van toepassing op een groot deel van de 19e-eeuwse groepentheorie, en een alternatief formalisme werd in termen van Lie-algebra's opgesteld.

Late 19e eeuw: 1870-1900[bewerken]

Groepen werden in de periode 1870-1900 beschreven als continue groepen van Lie, discontinue groepen, eindige groepen van substituties van wortels (deze substituties werden geleidelijk aan permutaties genoemd), en eindige groepen van lineaire substituties (meestal van eindige velden). Gedurende de periode 1880-1920 gingen groepen, die beschreven werden door presentaties, door het werk van onder meer Cayley, von Dyck, Dehn, Nielsen en Schreier een eigen leven leiden. Dit werk werd in de periode 1920-1940 voortgezet in het werk van Coxeter, Magnus en anderen. Dit leidde tot de ontwikkeling van de combinatorische groepentheorie.

Eindige groepen zgen in de periode 1870-1900 zulke hoogtepunten als de stellingen van Sylow, Hölders classificatie van groepen van kwadraatsvrije orde, en het vroege begin van de karaktertheorie van Frobenius. Reeds in jaren 1860 werden de automorfismegroepen van de eindige projectieve vlak door Mathieu bestudeerd, en in de jaren 1870 werd Felix Kleins groep-theoretische visie op de meetkunde gerealiseerd in zijn Erlanger Programm. De automorfismegroepen van hogere dimensionale projectieve ruimten werden door Jordan in zijn Traité bestudeerd en bevatten samengestelde reeksen voor de meeste van de zogenaamde klassieke groepen, hoewel hij niet-priemvelden vermeed en de unitaire groepen wegliet. De studie werd voortgezet door Moore en Burnside, en leidde in 1901 tot het uitgebreide leerboek van Dickson. De rol van de enkelvoudige groepen werd benadrukt door Jordan en criteria voor niet-enkelvoudigheid werden door Hölder ontwikkeld, totdat hij in staat was om alle enkelvoudige groepen van een orde kleiner dan 200 te classificeren. Deze studie werd voortgezet door F. N. Cole (tot orde 660) en Burnside (tot orde 1092), en ten slotte in een vroeg "millenniumproject", door Miller en Ling in 1900 tot orde 2001.

Continue groepen ontwikkelden zich in de periode 1870-1900 snel. Killing en Lie publiceerden hun seminale artikelen en in 1882 publiceerde Hilbert zijn stelling van Hilbert uit de invariantentheorie.

Vroege 20e eeuw: 1900-1940[bewerken]

In de periode 1900-1940 gingen oneindig "discontinue" (nu discrete groepen genoemd) groepen een eigen leven leiden. Burnsides beroemde probleem luidde de studie in van willekeurige deelgroepen van eindig-dimensionale lineaire groepen over willekeurige velden, en zelfs willekeurige groepen. Fundamentaalgroepen en reflectiegroepen moedigden de ontwikkelingen van J. A. Todd en Coxeter aan, zoals het Todd-Coxeter-algoritme in de combinatorische groepentheorie. Algebraïsche groepens, gedefinieerd als oplossingen van veeltermvergelijkingen (in plaats op hen in te werken, zoals in de vorige eeuw), profiteerden sterk van de continue theorie van Lie. Neumann en Neumann produceerden hun studie van variëteiten van groepen, dat wil zeggen groepen die door groepstheoretische in plaats van veeltermvergelijkingen werden gedefinieerd.

Ook de studie van de continue groepen kende in de jaren 1900-1940 een explosieve groei. Men begon met de studie van topologische groepen als zodanig. Men boekte veel grote successen bij de studie van de continue groepen: Cartans classificatie van half-enkelvoudige Lie-algebra's, Weyls representatietheorie van compacte groepen, Haars werk in het lokaal compacte geval.

De theorie van de eindige groepen groeide in de jaren 1900-1940 enorm. Deze periode was getuige van de geboorte van de karaktertheorie door Frobenius, Burnside en Schur. De karaktertheorie hielp veel van de 19e-eeuwse vragen over permutatiegroepen te beantwoorden en opende de weg naar volledig nieuwe technieken in abstracte eindige groepen. Deze periode zag het werk van Hall: over een veralgemening van de stellingen van Sylow naar willekeurige verzamelingen priemgetallen, wat een revolutie betekende in de studie van eindige oplosbare groepen, en over de machts-commutator structuur van de p-groepen, met inbegrip van de ideeën over regelmatige p-groepen en isoclinisme, een ontwikkeling die een revolutie betekende in de studie van p-groepen. Isoclinisme was het eerste belangrijke resultaat op dit gebied sinds Sylow. Deze periode zag tevens Zassenhaus zijn beroemde stelling van Schur-Zassenhaus over het bestaan van complementen op Halls veralgemening van de Sylow-deelgroepen, evenals zijn voortgang op het gebied van Frobenius-groepen, en een bijna complete classificatie van de Zassenhaus-groepen.

Vroegmidden 20e eeuw: 1940-1960[bewerken]

Zowel diepte, breedte als ook de impact van de groepentheorie groeide daarna snel. Het domein van de groepentheorie begon zich te vertakken in deelgebieden, zoals de algebraïsche groepen, groepsuitbreidingen en de representatietheorie[10]. Startend vanaf de jaren 1950 zijn groepentheoretici er in 1982, dankzij een grote gezamenlijke inspanning, geslaagd alle eindige enkelvoudige groepen te classificeren. Voltooiing en vereenvoudiging van het classificatiebewijs zijn gebieden van actief onderzoek[11]

Anatoli Maltsev leverde gedurende deze periode een belangrijke bijdrage aan de groepentheorie: zijn vroege werk was in de jaren 1930 op het gebied van de logica, maar in de jaren 1940 bewees hij belangrijke inbeddinginseigenschappen van halfgroepen naar groepen, bestudeerde hij het isomorfismeprobleem van de groepsringen, stelde hij de Malçev-correspondentie voor polycyclische groepen vast, en bewees in de jaren 1960, teruggekeerd naar de logica, dat verschillende theorieën binnen de studie van de groepentheorie onbeslisbaar zijn. Eerder bewees Alfred Tarski dat de elementaire groepentheorie onbeslisbaar[12] is.

Laatmidden 20e eeuw: 1960-1980[bewerken]

De periode van 1960-1980 was een tijdvak in de groepentheorie, waarin veel gebeurde.

In de eindige groepen waren er vele onafhankelijke mijlpalen: de ontdekking van 22 nieuwe sporadische groepen, en de voltooiing van de eerste generatie van de classificatie van eindige enkelvoudige groepen; het invloedrijke idee van de Carter-deelgroep, en volgend daarop de formulering van de formatiettheorie en de theorie van klassen van groepen; de opmerkelijke uitbreidingen door Green van de Clifford-theorie tot onontleedbare modulen van groepsalgebra's. Tijdens deze periode werd ook het gebied van de computationele groepentheorie een erkend gebied van studie, deels te danken aan haar enorme succes tijdens de eerste generatie classificatie.

In de discrete groepen stonden de meetkundige methoden van Jacques Tits en de beschikbaarheid van de surjectiviteit uit Langs map een revolutie in de algebraïsche groepen toe. Het probleem van Burnside boekte enorme vooruitgang. In de jaren 1960 en vroege jaren 1980 werden betere tegenvoorbeelden geconstrueerd, maar de laatste hand "voor alle, maar eindig vele" werd pas in de jaren 1990 gelegd. De werken aan de Burnside verhoogden de belangstelling voor Lie-algebra's in de exponent p, en de methoden van Lazard kregen een bredere impact, vooral in de studie van p-groepen.

De scope van de continue groepen verbreedde zich aanzienlijk. De p-adische analytische vragen werden steeds belangrijker. Gedurende deze periode werden veel vermoedens geuit, met inbegrip van de coklasse vermoedens.

Late 20e-eeuw: 1980-2000[bewerken]

De laatste twintig jaar van de twintigste eeuw konden de vruchten worden geplukt van meer dan honderd jaar studie in de groepentheorie.

In de theorie van de eindige groepen werden verschillende post-classificatie resultaten gevonden: de stelling van O'Nan-Scott, de Aschbacher-classificatie, de classificatie van van vermenigvuldings-transitieve eindige groepen, het bepalen van de maximale deelgroepen van de enkelvoudige groepen en de corresponderende classificaties van primitieve groepen. In de eindige meetkunde en combinatoriek konden veel problemen worden opgelost. De modulaire representatietheorie ging een nieuw tijdperk in toens de classificatietechnieken, met inbegrip van fusiesystemen, de theorie van Puig over paren en nilpotente blokken, werden geaxiomatiseerd. De theorie van eindige oplosbare groepen werd op soortgelijk wijze getransformeerd door het invloedrijke boek van Doerk-Hawkes, waarin de theorie van projectoren en injectoren onder de aandacht van een breder publiek werd gebracht.

In de theorie van de discrete groepen kwamen verschillende deelgebieden van de meetkunde bij elkaar en ontstonden opwindende nieuwe studiegebieden. Nieuw werk op de gebieden van de knopentheorie, orbifolden, hyperbolische variëteiten, en groepen die op bomen inwerken (de Bass-Serre theorie), verlevendigden de studie van hyperbolische- en automatische groepen. Vragen, zoals die door Thurston in 1982 werden gesteld in zijn vermeetkundigingsvermoeden, inspireerden tot geheel nieuwe technieken in meetkundige groepentheorie en de laag-dimensionale topologie. Het vermoeden van Thurston speelde een rol bij de oplossing van een van de Millenniumprijsproblemen, het vermoeden van Poincaré, door Grigori Perelman.

In de theorie van de continue groepen vond men in 1992 de oplossing voor het probleem van het horen van de vorm van een drum. Bij de oplossing werd gebruikgemaakt van symmetriegroepen van Laplaciaan-operatoren. Continue technieken werden op vele aspecten van de groepentheorie toegepast. Daarbij maakte men gebruik van functieruimten en kwantumgroepen. Veel 18e en 19e-eeuwse problemen werden met in het achterhoofd deze nieuwe, meer algemene context opnieuw bekeken, waarbij men in de representatietheorie van groepen ook een aantal antwoorden heeft gevonden.

Tegenwoordige tijd: na 2000[bewerken]

De groepenheorie blijft een intens bestudeerd onderwerp. Het belang ervan voor de hedendaagse wiskunde als een geheel kan worden geïllustreerd door de toekenning van de Abelprijs in 2008 aan John Griggs Thompson en Jacques Tits voor hun bijdrage aan de groepentheorie.

Voetnoten[bewerken]

  1. Wussing, 2007
  2. Kleiner, 1986
  3. a b c d e f Smith, 1906
  4. Galois, 1908
  5. Kleiner, 1986, p. 202
  6. Wussing, 2007, § III.2
  7. Kleiner, 1986, 204
  8. Wussing, 2007, § I.3.4
  9. Solomon schreef in Burnsides verzamelde werken, "Het effect van [Burnsides boek] was breed en alomtegenwoordig, het beïnvloedde de gehele ontwikkeling van de niet-commutatieve algebra in de twintigste eeuw"
  10. Curtis, 2003
  11. Aschbacher, 2004
  12. Tarski, Alfred (1953) "Undecidability of the elementary theory of groups" (Onbeslisbaarheid van de elementaire groepentheorie) in Tarski, Mostowski, en Raphael Robinson Undecidable Theories (Onbeslisbare theorieën). Noord-Holland: 77-87.