Gesigneerde maat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een gesigneerde maat een generalisatie van het begrip maat die ook negatieve waarden kan aannemen. Een gesigneerde maat kan men zich voorstellen als een ladingsverdeling die aan iedere deel van een geladen lichaam de lading daarop toewijst.

Definitie[bewerken]

Een gesigneerde maat op een meetbare ruimte is een functie

met de eigenschap dat voor de lege verzameling geldt:

en dat (sigma-additiviteit)

voor iedere paarsgewijs disjuncte rij in waarvoor de reeks in het rechterlid absoluut convergent is.

Sommige auteurs laten toe dat een gesigneerde maat ook de waarde of kan aannemen. De gesigneerde maat volgens bovenstaande definitie wordt dan een eindige gesigneerde maat genoemd.

Voorbeeld[bewerken]

Verschil van twee maten

Als en eindige maten zijn op de meetbare ruimte , is hun verschil

een gesigneerde maat op .

Omgekeerd kunnen volgens de decompositiestelling van Jordan bij elke gesigneerde maat twee onderling singuliere maten en gevonden worden zo dat .