Raspadori speelde in de jeugd van Progresso en werd in 2009 opgenomen in de jeugdopleiding van Sassuolo. Bij deze club maakte hij in het seizoen 2018/19 zijn professionele debuut. In de laatste speelronde van de Serie A speelde Sassuolo op bezoek bij Atalanta Bergamo. De bezoekers kwamen op voorsprong door een treffer van Domenico Berardi, maar door doelpunten van Duván Zapata, Alejandro Gómez en Mario Pašalić won Atalanta met 3–1. Raspadori moest van coach Roberto De Zerbi als reservespeler aan het duel beginnen en hij mocht in de blessuretijd van de tweede helft invallen voor Pol Lirola.[1] Zijn eerste doelpunt volgde op 11 juli 2020, op bezoek bij Lazio. Die club was door een goal van Luis Alberto op voorsprong gekomen. Zeven minuten na rust zorgde Raspadori voor de gelijkmaker en uiteindelijk won Sassuolo door een doelpunt van Francesco Caputo.[2] In november 2020 zette de aanvaller zijn handtekening onder een nieuw contract, welke liep tot aan de zomer van 2024.[3]
Raspadori werd in mei 2021 door bondscoach Roberto Mancini opgenomen in de voorselectie van het Italiaans voetbalelftal voor het uitgestelde EK 2020.[5] Mancini besloot dertien dagen na het bekendmaken van de voorselectie deze in te krimpen. Raspadori was een van de afvallers.[6] Een dag later werd de definitieve selectie bekendgemaakt. Daarin werd toch een plekje ingeruimd voor Raspadori.[7] Tijdens de voorbereiding op het toernooi debuteerde hij als A-international, in een vriendschappelijke wedstrijd tegen Tsjechië. Door doelpunten van Ciro Immobile, Nicolò Barella, Lorenzo Insigne en Domenico Berardi werd met 4–0 gewonnen. Raspadori mocht van Mancini twaalf minuten voor tijd invallen voor Immobile.[8] Op het toernooi werd Italië uiteindelijk Europees kampioen, door in de finale na strafschoppen te winnen van Engeland na 1–1 gelijkgespeeld te hebben. Daarvoor werd in de groepsfase gewonnen van Turkije (0–3), Zwitserland (3–0) en Wales (1–0). Ook Oostenrijk (2–1 na verlenging), België (1–2) en Spanje (1–1 en winst na strafschoppen) delfden het onderspit tegen Italië. Raspadori speelde alleen tegen Wales mee. Zijn toenmalige teamgenoten Manuel Locatelli, Domenico Berardi (beiden eveneens Italië), Kaan Ayhan, Mert Müldür (beiden Turkije) en Lukáš Haraslín (Slowakije) waren ook actief op het EK. Op 8 september 2021 kwam Raspadori voor het eerst tot scoren in de nationale ploeg, tijdens zijn vijfde interlandoptreden. Tijdens een kwalificatiewedstrijd voor het WK 2022 tegen Litouwen. Na een treffer van Moise Kean en een eigen doelpunt van Edgaras Utkus tekende de aanvaller voor de derde Italiaanse treffer. Kean en Giovanni Di Lorenzo bepaalden de uitslag op 5–0.[9]
Italië
.svg){kind=small}
Zwitserland – Italië 
24'
.svg){kind=small}
Turkije – Italië 
Engeland – Italië 
Duitsland – Italië 
(2e titel)