Gram-schmidtmethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De eerste twee stappen van de gram-schmidtmethode

De gram-schmidtmethode is een algoritme waarmee men een orthogonaal stelsel maakt van een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in een vectorruimte voorzien van een inproduct, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige met betrekking tot dat inproduct. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren.

De methode is vernoemd naar Jørgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. In de theorie van Lie-groepen is de methode gegeneraliseerd door Kenkichi Iwasawa.

Methode[bewerken | brontekst bewerken]

In een vectorruimte met inproduct zijn de lineair onafhankelijke vectoren gegeven. De gram-schmidtmethode berekent de orthogonale vectoren (in dit artikel normeren we ze achteraf niet) met dezelfde span als volgt. Als startvector nemen we de eerste gegeven vector gewoon over:

.

Vervolgens geldt voor :

.

In woorden is dus gelijk aan waarvan eerst alle componenten zijn afgetrokken die volgens de reeds geconstrueerde orthogonale vectoren stonden. De formule toont zo ook dat de projectie van op de ruimte opgespannen door die vectoren de som van de afzonderlijke projecties

is. Dat is alleen correct als onderling orthogonaal zijn, omdat de projecties anders met elkaar interfereren en er te veel van wordt afgetrokken.

Voorbeeld 1[bewerken | brontekst bewerken]

De drie vectoren

,

in met het gewone inproduct, zijn lineair onafhankelijk en spannen een driedimensionale deelruimte op. In deze deelruimte kan met de gram-schmidtmethode uit de drie gegeven vectoren een orthogonale basis bepaald worden.

Eenvoudig is na te gaan dat:

Voorbeeld 2[bewerken | brontekst bewerken]

In de tweedimensionale reële vectorruimte van lineaire functies op het interval [0,1], met inwendig product (zie het voorbeeld van een tweedimensionale functieruimte)

wordt de basis bestaande uit en met de gram-schmidtmethode tot een orthonormaal stelsel gemaakt. Om te beginnen is

.

De component van loodrecht op is

Normering van geeft

.