Grootste en kleinste element

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een element van een deelverzameling van een geordende verzameling een grootste element van genoemd, als geen element van groter is, wat in termen van de orde betekent dat alle elementen van kleiner zijn of equivalent aan dat element. Twee elementen zijn equivalent als ze in de orde dezelfde plaats innemen. Het ene komt niet vóór het andere en het andere niet vóór het ene. Een element van heet een kleinste element van als geen element van kleiner is, wat inhoudt dat een kleinste element kleiner is of equivalent aan alle elementen van . Grootste of kleinste elementen bestaan niet in alle gevallen, en als ze bestaan hoeven ze niet eenduidig te zijn. Als in een partiële orde een grootste of kleinste element bestaat, is het uniek en dus het grootste of kleinste element van de deelverzameling.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een verzameling met preorde , en een deelverzameling van .

Een element heet een grootste element van als voor alle geldt dat .

Een element heet een kleinste element van als voor alle geldt dat .

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Grootste elementen van zijn onderling equivalent, kleinste ook.

Een grootste element is een maximaal element, een kleinste element is een minimaal element.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Op de complexe getallen is de relatie als een (totale) preorde. In de deelverzameling zijn alle getallen op de eenheidscirkel grootste elementen van . Er zijn verder geen maximale elementen.

In een partieel geordende verzameling met en en zijn en wel maximale elementen (van heel ), want er bestaan geen grotere elementen, maar het zijn geen grootste elementen, want ze zijn niet groter dan alle elementen van (in het bijzonder geldt niet of ). Aan de andere kant is in dit voorbeeld zowel een minimaal als een kleinste element.

Op de verzameling van drie elementen is een preorde gedefinieerd door: en , dus en zijn equivalente elementen (). Beide zijn met onvergelijkbaar. Dan zijn alle elementen zowel maximaal element als minimaal element, maar zijn er geen grootste of kleinste elementen.

Begrensdheid[bewerken | brontekst bewerken]

Een begrensde partieel geordende verzameling is een partieel geordende verzameling die zowel een grootste als een kleinste element heeft.

Minimum en maximum[bewerken | brontekst bewerken]

De definitie van minimum en maximum heeft betrekking op verzamelingen met een totale orde.