Half-continuïteit

Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Iedere continue functie is ook half-continu, maar het omgekeerde geldt niet. Een half-continue functie hoeft aan minder voorwaarden te voldoen dan een continue functie.

Een functie waarvoor het van belang is dat die half-continu is, is een functie met punten waarin de functiewaarde verspringt. Dat is hetzelfde als bij functies die linkscontinu of rechtscontinu zijn, maar de definitie is iets anders.

Definitie

Half-continue functie van boven

Half-continue functie van beneden

De dichte stippen horen tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Laat $I\subset \mathbb {R}$ een open interval zijn en $f:I\to \mathbb {R}$.

De functie $f$ heet continu als voor iedere $u\in I$ en iedere $\varepsilon >0$ er een $\delta >0$ is zodanig dat voor $x\in I$ met $|x-u|<\delta$, geldt dat $|f(x)-f(u)|<\varepsilon$.

De functie $f$ heet half-continu van beneden als voor iedere $u\in I$ en iedere $\varepsilon >0$ er een $\delta >0$ is zodanig dat voor $x\in I$ met $|x-u|<\delta$, geldt dat $f(x)-f(u)>-\varepsilon$.

De functie $f$ heet half-continu van boven als voor iedere $u\in I$ en iedere $\varepsilon >0$ er een $\delta >0$ is zodanig dat voor $x\in I$ met $|x-u|<\delta$, geldt dat $f(x)-f(u)<\varepsilon$.

Topologie

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ half-continu van boven in $u\in X$, als er voor elke $\epsilon >0$ er een open verzameling $U$ bestaat die $u$ omvat zodanig dat $f(x)-f(u)<\epsilon$ voor elke $x\in U$. Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn domein.

Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ half-continu van boven, als $\{x\in X:f(x)<a\}$ open is voor elke $a$.

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ half-continu van beneden in $u\in X$, als er voor elke $\epsilon >0$ er een open verzameling $U$ bestaat die $u$ omvat zodanig dat $-\epsilon <f(x)-f(u)$ voor elke $x\in U$. Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ half-continu van beneden, als $\{x\in X:f(x)>a\}$ open is voor elke $a$.

Voorbeelden

Als $D\subset I$, dan is de indicatorfunctie $1_{D}:I\to \{0,1\}$ dan en slechts dan half-continu van boven als $D$ gesloten is en half-continu van beneden als $D$ open is.

In het bijzonder is $1_{\{a\}}$ half-continu van boven voor elk element $a\in I$. Deze functie is noch rechts-, noch linkscontinu in $a$.

Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de entierfunctie $x\mapsto [x]$.

Eigenschappen

• Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
• Als $f$ en $g$ half-continu zijn van beneden en $\lambda \geq 0$, dan zijn $f+g$ en $\lambda f$ half-continu van beneden.

Als bovendien $f\geq 0,g\geq 0$, dan is ook $fg$ half-continu van beneden.

• De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
• Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
• Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
• De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen

als $S$ een verzameling van van beneden half-continue functies is, en $f$ en $g$ zijn elementen van $S$, dan is $x\mapsto \sup\{h(x):h\in S\}$ half-continu van beneden evenals $x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}$

Dezelfde eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.

Literatuur

• AC v Rooij en WH Schikhof. A Second Course on Real Functions, 1982. ISBN 0521283612