Hankel-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Hankel-matrix is een symmetrische matrix met constante antidiagonalen ("schuine lijnen" die "loodrecht" verlopen op de hoofddiagonaal).

Voorbeeld van een Hankel-matrix:

Een Hankel-matrix wordt volledig beschreven door de elementen in de eerste en de laatste rij of de laatste kolom; in dit geval dus door de getalrijen (1,2,5) en (5,8,3), waarbij het eerste element van de tweede rij eigenlijk overbodig is.

Voor het element in rij i en kolom j van een Hankel-matrix geldt:

of anders gezegd: elk element is gelijk aan het element dat er rechtsboven van staat.

Een Hankel-matrix is sterk verwant met een Toeplitz-matrix (daarin zijn de hoofddiagonalen constant). Een Hankel-matrix is een ondersteboven gekeerde Toeplitz-matrix.

Een Hilbert-matrix is een speciaal geval van een Hankel-matrix; de waarden in de eerste rij en de laatste kolom van een Hilbert-matrix zijn de breuken 1, 1/2, 1/3, 1/4, enz.

Bij uitbreiding wordt het begrip Hankel-matrix ook toegepast op niet-vierkante matrices, bijvoorbeeld:

De Hankel-matrix is genoemd naar Hermann Hankel.

Hankel-transformatie van een rij getallen[bewerken]

Met een oneindige rij gehele getallen associeert men de oneindige Hankel-matrix met op rij en kolom De Hankel-matrix van orde is de vierkante submatrix met rijen in de linkerbovenhoek van die matrix:

De determinant van noemt men de Hankel-determinant van orde

De rij noemt men de Hankel-transformatie van A.[1]

Als men dit bijvoorbeeld toepast op de reeks Catalan-getallen, {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...} verkrijgt men als Hankel-transformatie de reeks {1, 1, 1, 1, ...}. Dit is niet de enige reeks met die eigenschap; andere zijn bijvoorbeeld rij A055877, A055878 of A055879 in OEIS.

Men kan bewijzen dat voor elke getallenreeks, de Hankel-transformatie ervan identiek is aan de Hankel-transformatie van de binomiaaltransformatie van die reeks[2]. De binomiaaltransformatie van de Catalan-getallen bijvoorbeeld is {1, 2, 5, 15, 51, 188, 731, ...} (rij A007317 in OEIS).

Voetnoten[bewerken]