Harde-bollenmodel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Figuur 1 — een stapeling volgens KVG rooster.

In het hardebollenmodel worden moleculen of poederdeeltjes voorgesteld als harde bollen, hetgeen betekent dat de bollen niet samendrukbaar, noch doordringbaar of vervormbaar zijn.

Stapeling van bollen en de pakkingsgraad[bewerken]

Voor harde bollen die allemaal dezelfde diameter hebben is de maximale pakking een piramide stapeling welke op twee manieren kan worden uitgevoerd. Bij de stapeling volgens een kubisch vlakgecentreerd rooster (Engels: face centered cubic (FCC) = close cubic packed (CCP) lattice) ligt elke vierde laag precies boven de eerste laag. Bij de stapeling volgens een hexagonaal rooster (Engels: hexagonal close packed (HCP) lattice.) ligt elke derde laag precies boven de eerste [1]. Wanneer overigens de tweede laag precies op de eerste laag wordt gelegd, dan wordt de kubische stapeling (Engels: simple cubic lattice) verkregen.

De pakkingsfactor voor de piramide stapelingen, welke in 1611 door Kepler als de meest dichte stapeling werd betiteld, en bekendstaat als het vermoeden van Kepler" [2], heeft de exacte waarde:

\eta = \frac{\pi}{3\sqrt 2} \simeq 0.74048

Met andere woorden in een volume van 1000 liter passen dan 740 bollen van elk 1 liter.

Hierbij kan worden opgemerkt dat Thomas Harriot als eerste (ca. 1585) in opdracht van Sir Rayleigh voor het stapelen van kanonskogels op het scheepsdek zich bezighield met de wiskunde ervan[3]. En dat pas, na eerdere vergeefse pogingen van Hsiang, in 1998 door Thomas Hales met grote zekerheid werd aangetoond, dat de piramide stapeling de meest dichte stapeling voor bollen van gelijke grote is[4].

Wanneer de bollen volgens de inhoudsformule in een eenvoudige kubusvorm worden opgestapeld dan is de pakkingsfactor:

\eta = \frac{\pi}{6} \simeq 0.52360

Ingeval de bollen hexagonaal volgens vlakke lagen gestapeld worden is de pakkingsgraad hoger:

\eta = \frac{\pi}{3\sqrt 3} \simeq 0.60640

Wanneer de bollen, kogels, sinaasappels echter willekeurig worden verdeeld is de maximale pakkingsdichtheid klaarblijkelijk nog hoger [5]

\eta = 0.6366 \pm 0.0004

Met andere woorden in een volume van 1000 liter passen slechts 636 bollen van elk 1 liter, wanneer ze willekeurig maar toch als het ware uitgeschud tegen elkaar aanliggen. Jaeger and Nagel (1992) noemen ook een waarde rond circa 64 %.

De bovengenoemde waarde voor een amorfe structuur ligt toevallig bij het irrationele getal:

\frac{2}{\pi} \simeq 0.63662

wat suggereert dat er een geometrisch verband is. Maar dit is speculatief, aangezien het gemiddelde van de kubische (0.524) en piramide (0.740) stapeling op 0.632 uitkomt.

Hardebollengas[bewerken]

Een hardebollengas is een model voor moleculen in de gasfase die geen onderlinge aantrekkingskracht kennen en alleen afstoting ondervinden zodra zij elkaar raken. De eigenschappen van dit gas kunnen worden beschreven met een viriaalvergelijking.

Definitie voor de repulsie[bewerken]

Harde bollen met een straal \sigma hebben de volgende paar wisselwerkingspotentiaal:

V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=\left\{ \begin{matrix}0 & \mbox{als}\quad |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2| \geq \sigma \\ \infty & \mbox{als}\quad|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2| < \sigma \end{matrix} \right.

met \mathbf{r}_1 en \mathbf{r}_2 de positie van bol 1 en 2.

Met deze vergelijking zijn de viriaalcoëfficiënten te berekenen.

Viriaalcoëfficiënten[bewerken]

Het berekenen van de viriaalcoëfficiënten is een bekend onderwerp in de statistische mechanica. De eerste 3 viriaalcoëfficiënten voor harde bollen kunnen analytisch worden afgeleid. Deze zijn:

\frac{B_2}{v_0} = 4{\frac{}{}}
\frac{B_3}{{v_0}^2} = 10{\frac{}{}}
\frac{B_4}{{v_0}^3} = -\frac{712}{35}+\frac{219 \sqrt{2}}{35 \pi}+\frac{4131}{35 \pi} \arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}}\approx 18.365

Hogere ordes kunnen worden benaderd door Monte-Carlosimulatie. De nauwkeurigheid van deze methode wordt groter naarmate meer kogels mathematisch worden meegenomen in de berekening. De duur van deze computerberekening neemt daardoor enorm af. De volgende waarden zijn gevonden:

\frac{B_5}{{v_0}^4} = 28.24 \pm 0.08
\frac{B_6}{{v_0}^5} = 39.5 \pm 0.4
\frac{B_7}{{v_0}^6} = 56.5 \pm 1.6

De beschrijvingen van hardebollen-gassen vormen in de statistische thermodynamica een limietgeval voor het beschrijven van gasmoleculen, en bieden daarmee een mogelijkheid om de afstoting van moleculen te modelleren. Met de bovenstaande definitie voor de paarpotentiaal in een hardebollengas kan men echter geen faseovergangen (naar de vloeistoffase) modelleren. Daarvoor is ook een aantrekkende wisselwerking noodzakelijk zoals bij een Van der Waalsgas.

Literatuur[bewerken]

  • J. P. Hansen and I. R. McDonald Theory of Simple Liquids Academic Press, London (1986)
  • Hard sphere model pagina op SklogWiki.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. Animatie welke laat zien door het kopiëren van de eenheidscellen voor (FCC=CCP) en HCP rooster er gelaagde structuren ontstaan. Bij het KVG (FCC=CCP) rooster repeteren telkens 3 lagen bij het hexagonale rooster (HCP) 2 lagen. [1]
  2. Strena seu de nive sexangula - Over de zeshoekige sneeuwvlok
  3. Thomas Harriot: A Biography by John W. Shirley, Oxford, 1983, page 242
  4. http://www.mat.univie.ac.at/users/neum/public_html/contrib/fullkepler-1.pdf
  5. J.D. Bernal, Trans. Faraday Soc. 33 (1937) 27 en G.D.Scott Nature 188(1960) 908;194 (1962) 956