Harmonisch-delergetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een harmonisch-delergetal is een natuurlijk getal waarvan het harmonisch gemiddelde van de delers een geheel getal is. Men noemt zo een getal ook een Ore-getal of harmonisch getal van Ore, naar de Noorse wiskundige Øystein Ore (1899-1968) die het begrip definieerde[1]. Ore noemde ze kortweg harmonische getallen. De harmonisch-delergetallen moeten niet met de bekende harmonische getallen worden verward.

De delers van het getal 6 bijvoorbeeld, zijn 1, 2, 3 en 6. Het harmonisch gemiddelde daarvan is:

Zes is dus een harmonisch-delergetal.

De eerste harmonisch-delergetallen zijn:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (rij A001599 in OEIS).

Er zijn 45 harmonisch-delergetallen kleiner dan 10.000.000[2].

Voor een harmonisch-delergetal n geldt, dat het rekenkundig gemiddelde van de delers van n zelf een deler is van n; of anders gezegd: n is een veelvoud van het rekenkundig gemiddelde van zijn delers. 140 bijvoorbeeld heeft twaalf delers: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 en 140. De som daarvan is 336, en het gemiddelde (336/12) = 28 = 140/5.

Ore bewees, dat elk perfect getal een harmonisch-delergetal is. Het omgekeerde is echter niet waar: 140 bijvoorbeeld, is geen perfect getal.

Er zijn, behalve het triviale geval 1, geen oneven harmonisch-delergetallen bekend. Ore vermoedde, dat er behalve 1 geen oneven harmonisch-delergetallen bestaan[3]. Als dit vermoeden bewezen kan worden, zou daaruit volgen dat er geen oneven perfecte getallen bestaan. Dit vermoeden is nog niet bewezen. Wel is reeds bekend dat alle harmonisch-delergetallen, waarvan het harmonisch gemiddelde kleiner is dan 300, even zijn[4]; en het is bewezen dat een oneven harmonisch-delergetal in ieder geval deelbaar moet zijn door een priemgetal groter dan 100.000[5].