Harmonische rij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De harmonische rij is in de wiskunde de rij:

1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\ldots,\tfrac{1}{n},\ldots\  ,

Dus de rij (a_n)_{n=1}^\infty met algemene term a_n=1/n.

De naam van de rij is afkomstig van de verhoudingen van de snaarlengten van de harmonische boventonen tot de grondtoon, die ontstaan door een snaar in delen onder te verdelen.

Harmonische reeks

De bij de harmonische rij behorende reeks is de harmonische reeks:

\sum_{n=1}^\infty \frac 1n.

Deze reeks is divergent, wat inhoudt dat de harmonische rij niet sommeerbaar is, geen (eindige) som heeft, aangezien de partieelsommen van deze rij doorgroeien naar oneindig.

Dat laatste volgt uit de vergelijking van de harmonische rij (H) met een andere rij (K) waarvan de meeste termen kleiner zijn dan (soms gelijk aan, maar nooit groter dan) die op dezelfde plaats in rij H. Die vergelijkingsrij bevat (steeds langer wordende) rijtjes gelijke breuken, gelijk aan de eerstvolgende term van H waarvan de noemer (en het rangnummer) een macht van 2 is.

H:    \tfrac11\ \ \tfrac{1}{2}\ \ \tfrac{1}{3}\ \tfrac{1}{4}\ \ \tfrac{1}{5}\ \tfrac{1}{6}\ \tfrac 17\ \tfrac{1}{8}\ \ \,\tfrac{1}{9}\ \tfrac{1}{10}\ \tfrac1{11}\ \tfrac 1{12}\ \tfrac{1}{13}\ \tfrac{1}{14}\ \tfrac{1}{15}\ \tfrac{1}{16}\ \ \tfrac 1{17}\ \tfrac{1}{18}\ \tfrac{1}{19}\ \tfrac{1}{20}\ \tfrac{1}{21}\cdots\tfrac1{32}\ \ \tfrac1{33}\ \tfrac1{34}\cdots

K:    \tfrac11\ \ \tfrac{1}{2}\ \ \tfrac{1}{4}\ \tfrac{1}{4}\ \ \tfrac{1}{8}\ \tfrac{1}{8}\ \tfrac 18\ \tfrac{1}{8}\ \,\tfrac{1}{16}\ \tfrac1{16}\ \tfrac{1}{16}\ \tfrac 1{16}\ \tfrac{1}{16}\ \tfrac{1}{16}\ \tfrac{1}{16}\ \tfrac{1}{16}\ \ \tfrac 1{32}\ \tfrac{1}{32}\ \tfrac{1}{32}\ \tfrac{1}{32}\ \tfrac{1}{32}\cdots\tfrac1{32}\ \ \tfrac1{64}\ \tfrac1{64}\cdots

Elk groepje gelijknamige breuken in rij K heeft   \tfrac12   als som. Dat maakt dat de partieelsommenrij van K naar oneindig gaat, want die stijgende rij bevat (onder meer) als termen:   1,\ 1\tfrac12,\ 2,\ 2\tfrac12,\ 3,\cdots .   De grótere partieelsommen van H zullen dus zeker ook naar oneindig gaan, en dus is H niet sommeerbaar.

Zie ook

Harmonische boventoonreeks

Bron