Hausdorffmaat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de n-dimensionale ruimte of algemener van een metrische ruimte.

Om inzicht te krijgen in deze maat bekijken we een eenvoudiger vorm van meten. Om de m-dimensionale maat van een deelverzameling X van de te bepalen, gaan we X overdekken met een aftelbaar aantal m-dimensionale bolletjes met straal kleiner dan ε en gaan na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is:

,

waarin ri de straal is van het i-de bolletje uit de overdekking en

het volume is van de eenheidsbol in m dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen.

Door de toegestane straal ε van de bolletjes kleiner te nemen, wordt de eerder berekende benadering steeds beter en krijgen we een goede benadering van de afmeting van X:

Voor de hausdorffmaat laten we nu in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan ε. De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:

Definitie[bewerken]

De m-dimensionale hausdorffmaat Hm van een deelverzameling X van de is gedefinieerd door:

waarin

,

en Ui een deelverzameling is van de met een diameter kleiner dan ε, en de Ui een aftelbare overdekking vormen van X.

Generalisaties[bewerken]

Metrische ruimte[bewerken]

De bovenstaande definitie kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor metrische ruimten. Daartoe vervangt men |xy| door de afstand d(x,y) van x en y.

Niet-gehele dimensies[bewerken]

Men kan ook voor niet-gehele dimensie m de hausdorffmaat definiëren. De uitdrukking voor Vn blijft dezelfde, maar stelt niet meer het volume van de eenheidsbol voor.