Hessenbergmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een hessenbergmatrix is een vierkante matrix waarin

  • ofwel alle elementen onder de eerste benedendiagonaal gelijk zijn aan nul; men noemt dit een boven-hessenbergmatrix;
  • ofwel alle elementen boven de eerste bovendiagonaal gelijk zijn aan nul; men noemt dit een beneden-hessenbergmatrix.

In de regel bedoelt men met een hessenbergmatrix een boven-hessenbergmatrix.

Hessenbergmatrices zijn genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Hessenberg (1904-1959).

Voor een boven-hessenbergmatrix geldt:

voor alle .

Voor een beneden-hessenbergmatrix geldt:

voor alle .

Voorbeeld[bewerken]

is een boven-hessenbergmatrix;

is een beneden-hessenbergmatrix.

Eigenschappen[bewerken]

De getransponeerde matrix van een beneden-hessenbergmatrix is een boven-hessenbergmatrix en vice versa.

Het matrixproduct van een hessenbergmatrix met een driehoeksmatrix is ook een hessenbergmatrix: als een boven-Hessenbergmatrix is en een bovendriehoeksmatrix, dan zijn en boven-hessenbergmatrices.

Een tridiagonale matrix is een matrix die zowel een boven- als een beneden-hessenbergmatrix is.

Toepassing[bewerken]

Hessenbergmatrices spelen met name een rol bij de berekening van de eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix. Hessenberg introduceerde de naar hem gemoemde matrices in 1940 in een rapport van het Institut für Praktische Mathematik te Darmstadt, getiteld "Behandlung linearer Eigenwertaufgaben mit Hilfe der Hamilton-Cayleyschen Gleichung". Zijn methode werd later gegeneraliseerd door James Hardy Wilkinson in diens boek "The Algebraic Eigenvalue Problem" uit 1965.

In het "QZ-algoritme" van Moler en Stewart[1] voor de oplossing van algemene eigenwaardeproblemen , met en algemene vierkante matrices, wordt in een eerste stap herleid tot een boven-hessenbergmatrix en tot een bovendriehoeksmatrix door orthogonale transformaties.[2]