Hilbert-kubus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is de Hilbert-kubus, vernoemd naar David Hilbert, een topologische ruimte, dat een leerzame illustratie geeft van een aantal ideeën in de topologie. Ook kunnen vele interessante topologische ruimten worden ingebed in de Hilbert-kubus; dat wil zeggen dat zij kunnen worden gezien als deelruimten van de Hilbert-kubus (zie hieronder).

Definitie[bewerken]

De Hilbert-kubus is het best te omschrijven als het topologische product van het gesloten interval [0,1/n], waar n = 1,2,3,4 ... Dat wil zeggen, het is een balk van aftelbare oneindige dimensie, waar de lengte van de randen in elke orthogonale richting de rij \lbrace 1/n \rbrace_{n\in\mathbb{N}} vormen.

De Hilbert-kubus is homeomorf aan het product van aftelbaar oneindig aantal kopieën van het eenheidsinterval [0,1]. Met andere woorden de Hilbert-kubus is topologisch niet te onderscheiden van een eenheidskubus van aftelbare oneindig dimensie.

Als een punt in de Hilbert-kubus wordt bepaald door een rij

\lbrace a_n \rbrace ,waar 0 \leq a_n \leq 1/n,

dan wordt een homeomorfisme naar de oneindig-dimensionale eenheidskubus gegeven door

h: a_n \rarr n\cdot a_n .