Hilberts Nullstellensatz

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Hilberts Nullstellensatz, in het Nederlands: nulpuntenstelling van Hilbert, is een stelling uit de algebraïsche meetkunde, een tak van de wiskunde, die algebraïsche verzamelingen en idealen in veeltermringen relateert over algebraïsch gesloten velden. De stelling werd door David Hilbert bewezen.

Formulering[bewerken | brontekst bewerken]

Laat een algebraïsch gesloten veld zijn, zoals de complexe getallen, en neem de ring , dat is de veeltermring van polynomen met coëfficiënten in , in beschouwing. Laat een ideaal in deze ring zijn.

De affiene variëteit , die door dit ideaal wordt gedefinieerd, bestaat uit alle -tupels in zodat voor alle in .

Hilbert Nullstellensatz stelt dat als een willekeurige polynoom in is, dat verdwijnt op de variëteit , dat wil zeggen voor alle , dat er dan een natuurlijk getal bestaat, zodat in is.

Gevolg en bewijsvoering[bewerken | brontekst bewerken]

Een onmiddellijk gevolg is de zwakke Nullstellensatz:

Als een ideaal is in , dan kan niet leeg zijn, dat wil zeggen dat er een gemeenschappelijk nulpunt bestaat voor alle polynomen in het ideaal.

Dit is ook de reden voor de naam van de stelling. De stelling kan gemakkelijk worden bewezen vanuit de 'zwakke' vorm door gebruik te maken van de Rabinowitsch-truc. De aanname dat algebraïsch gesloten moet zijn is hier essentieel, de elementen van het echte ideaal in hebben geen gemeenschappelijke nul.

Met de notatie die gebruikelijk is in de algebraïsche meetkunde kan de Nullstellensatz voor elk ideaal ook worden geformuleerd als

staat hier voor radicaal van en is het ideaal van alle veeltermen die verdwijnen op de verzameling .

Op deze manier verkrijgen we een orde-omdraaiende bijectieve correspondentie tussen de affiene variëteiten in en de radicale idealen van .