Hyperbolische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hyperbolische functies: sinh, cosh en tanh
Een rechte lijn door de oorsprong snijdt de hyperbool x2 - y2 = 1 in het punt ( cosh(a), sinh(a) ), waarbij de hyperboolhoek A het oppervlak is tussen de rechte lijn, het spiegelbeeld van de rechte lijn ten opzichte van de x-as, en de hyperbool (zie de animatie voor een vergelijking met de goniometrische functies).

In de wiskunde wordt gebruikgemaakt van een aantal hyperbolische functies, de zes belangrijkste zijn:

  • sinus hyperbolicus (sinh)
  • cosinus hyperbolicus (cosh)
  • tangens hyperbolicus (tanh)
  • cotangens hyperbolicus (coth)
  • secans hyperbolicus (sech)
  • cosecans hyperbolicus (csch)

Er is een sterke analogie tussen de hyperbolische en de goniometrische functies, wat de namen verklaart.

Verder hebben hyperbolische en goniometrische functies vergelijkbare somformules. Net als bij de goniometrische functies bestaan er inverse hyperbolische functies. De inverse van de sinus hyperbolicus wordt genoteerd als arsinh (lees: areaalsinus hyperbolicus).

De hyperbolische functies houden verband met de hyperbool op een vergelijkbare manier waarop de goniometrische functies verband houden met de cirkel. Net zoals de punten (cos(t),sin(t)) de eenheidscirkel vormen, vormen de punten (cosh(t),sinh(t)) een hyperbool. De variabele t wordt de hyperboolhoek genoemd.

Definitie[bewerken]

De sinus hyperbolicus (sinh) en cosinus hyperbolicus (cosh) zijn gedefinieerd als:

In de goniometrie kunnen de tangens, secans, cosecans en cotangens berekend worden uit de cosinus en sinus. Dit gaat bij de hyperbolische functies op dezelfde manier:

Toepassingen[bewerken]

  • Een touw dat aan beide uiteinden opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook de kettinglijn genoemd.
  • Oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn van de vorm .

Reeksontwikkelingen[bewerken]

De hyperbolische functies kunnen ook als machtreeks geschreven worden.

met

het n-de Bernoulligetal,
het n-de Eulergetal

Inverse functies van de hyperbolische functies[bewerken]

De inverse functies van de hyperbolische functies zijn de areaalfuncties.

Relatie tussen hyperbolische en goniometrische functies[bewerken]

De hyperbolische functies staan in een directe relatie met de overeenkomende goniometrische functies voor complexe argumenten.

Daarin is steeds de imaginaire eenheid.

Eigenschappen[bewerken]

Identiteiten[bewerken]

Negatief argument[bewerken]

De cosinus hyperbolicus is een even functie, terwijl de sinus hyperbolicus een oneven functie is:

En voor de andere functies geldt:

Somformules[bewerken]

Afgeleiden[bewerken]

Omrekentabel[bewerken]

Functie

NB: is het teken van x.