Hyperbolische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hyperbolische functies: sinh, cosh en tanh
Een rechte lijn door de oorsprong snijdt de hyperbool in het punt , waarin de zogeneemde hyperboolhoek het oppervlak is tussen de rechte lijn, het spiegelbeeld van de rechte lijn ten opzichte van de -as, en de hyperbool (zie de animatie voor een vergelijking met de goniometrische functies).

In de wiskunde zijn de hyperbolische functies analogieën van de goniometrische functies. Net als de sinus en de cosinus de coördinaten zijn van een punt op de eenheidscirkel, gegeven door de vergelijking , zo zijn de sinus hyperbolicus en de cosinus hyperbolicus de coördinaten van een punt op de hyperbool, gegeven door de vergelijking .

De zes belangrijkste hyperbolische functies zijn:

  • sinus hyperbolicus (sinh)
  • cosinus hyperbolicus (cosh)
  • tangens hyperbolicus (tanh)
  • cotangens hyperbolicus (coth)
  • secans hyperbolicus (sech)
  • cosecans hyperbolicus (csch)

Verder hebben hyperbolische en goniometrische functies vergelijkbare somformules en bestaan er inverse hyperbolische functies. De inverse van de sinus hyperbolicus wordt genoteerd als arsinh (lees: areaalsinus hyperbolicus).

Het argument van de hyperbolische functies wordt de hyperboolhoek genoemd.

Definitie[bewerken]

De sinus hyperbolicus (sinh) en cosinus hyperbolicus (cosh) zijn gedefinieerd als:

In de goniometrie kunnen de tangens, secans, cosecans en cotangens berekend worden uit de cosinus en sinus. Dit gaat bij de hyperbolische functies op dezelfde manier:

Toepassingen[bewerken]

  • Een touw dat aan beide uiteinden opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook de kettinglijn genoemd.
  • Oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn van de vorm .

Reeksontwikkelingen[bewerken]

De hyperbolische functies kunnen ook als machtreeks geschreven worden.

met

het n-de Bernoulligetal,
het n-de Eulergetal

Inverse functies van de hyperbolische functies[bewerken]

De inverse functies van de hyperbolische functies zijn de areaalfuncties.

Relatie tussen hyperbolische en goniometrische functies[bewerken]

De hyperbolische functies staan in een directe relatie met de overeenkomende goniometrische functies voor complexe argumenten.

Daarin is steeds de imaginaire eenheid.

Eigenschappen[bewerken]

Identiteiten[bewerken]

Negatief argument[bewerken]

De cosinus hyperbolicus is een even functie, terwijl de sinus en tangus hyperbolicus oneven functies zijn:

Somformules[bewerken]

Afgeleiden[bewerken]

Omrekentabel[bewerken]

Functie

NB: is het teken van x.