Hyperfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde zijn hyperfuncties veralgemeningen van functies. Een hyperfunctie behandelt de 'sprong' op de grensvlak tussen twee holomorfe functies. Informeel kan men zich hyperfuncties voorstellen als distributies van oneindige orde. Hyperfuncties werden in 1958 door Mikio Sato geïntroduceerd, waarbij hij voortbouwde op eerder werk van Grothendieck en anderen.

Formulering[bewerken]

Wij willen dat een hyperfunctie op de reële lijn het "verschil" tussen een holomorfe functie op het bovenhalfvlak en een andere op het onderhalfvlak aangeeft. De eenvoudigste manier om dit bereiken, is om te zeggen dat een hyperfunctie gespecificeerd wordt door een paar , waarbij een holomorfe functie is op het bovenhalfvlak en een holomorfe functie op het onderhalfvlak is.

Informeel is de hyperfunctie wat het verschil zou zijn op de reële lijn zelf. Dit verschil wordt niet beïnvloed door dezelfde holomorfe functie bij zowel en op te tellen, dus als een holomorfe functie op het gehele complexe vlak is, zijn de hyperfuncties en als equivalent gedefinieerd.

Definitie in één dimensie[bewerken]

De motivatie kan concreet worden geïmplementeerd door gebruik te maken van ideeën uit de schoofcohomologie. Laat de schoof van holomorfe functies op zijn. Definieer de hyperfunctions op de reële lijn door

,

de eerste lokale cohomologie groep

Laten en respectievelijk het bovenhalfvlak en onderhalfvlak zijn. Dan geldt

zodat

Aangezien de nul-de cohomologiegroep van enige schoof simpelweg de globale secties van deze schoof zijn, zien we dat een hyperfunctie een paar van holomorfe functies is, eentje op de bovenste halfvlak en eentje op het onderste complexe halfvlak modulo gehele holomorfe functies.

Voorbeelden[bewerken]

  • Als enige holomorfe functie op het hele complexe vlak is, dan is de beperking van op de reële as een hyperfunctie, vertegenwoordigd door ofwel dan wel .
  • Als een continue functie (of meer algemeen een distributie) op de reële lijn is met een drager in een begrensd interval , dan correspondeert met de hyperfunctie , waarbij een holomorfe functie op het complement van is, die is gedefinieerd door
Deze functie springt in waarde met wanneer de functie de reële-as op het punt overschijdt. De formule voor volgt uit het vorige voorbeeld door te schrijven als de convolutie van zichzelf met de Dirac-deltafunctie.
  • Als enige functie, die overal holomorf is, behalve voor een essentiële singulariteit op 0 (bijvoorbeeld ), is dan is een hyperfunctie met drager 0 die geen distributie is. Als een pool van eindige orde op 0 heeft, dan is een distributie, zodat wanneer een essentiële singulariteit heeft, eruitziet als een "distributie van oneindige orde" op 0. (Merk op dat de distributies altijd een eindige orde op enig punt hebben.)

Referenties[bewerken]

  • (en) Lars Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Volume I: Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 2003, isbn=3-540-00662-1.
  • (en) Mikio Sato, Theory of Hyperfunctions, [1], Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry, volume=8, 1959, issue=1, pagina's 139–193.
  • (en) Mikio Sato, Theory of Hyperfunctions, [2], Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry, volume=8, 1960, issue=2, pagina's 387–437.