Hypotrochoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De constructie van een hypotrochoïde (rood) met R = 5, r = 3 en d = 5.

De hypotrochoïde is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een kleine cirkel met straal r te laten wentelen in een grote cirkel met straal R en waarbij d de afstand is van het middelpunt van de kleine cirkel tot ieder punt op de kromme. Deze afstand d kan zowel kleiner als groter zijn dan r. Indien d = r, dan spreekt men van een hypocycloïde.

Vergelijkingen[bewerken]

De hypotrochoïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking.

Parametervergelijking[bewerken]

De parametervergelijking van de hypotrochoïde wordt gegeven door:

x (\theta) = (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) \,
y (\theta) = (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right) \,

Poolcoördinaten[bewerken]

De vergelijking in poolcoördinaten voor de hypotrochoïde luidt:

r (\theta)^2 = (R - r)^2 + 2d(R - r)\cos\left({R\over r}\theta\right) + d^2 \,

Booglengte[bewerken]

De booglengte van een hypotrochoïde wordt gegeven door volgende betrekking:

 s(t) = 2 |(R-r)(r-d)| E \left(\frac{Rt}{2r} , \frac{2i \sqrt{rd}}{|r-d|} \right)

met E(x, y) de elliptische integraal van de tweede soort.

Constructie van een ellips[bewerken]

Constructie van een ellips.

Een speciaal geval van de hypotrochoïde is de ellips, wanneer R = 2r en d < r.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]