Identiteit van Vandermonde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De identiteit van Vandermonde, ook convolutie van Vandermonde geheten, is een identiteit uit de combinatoriek, die een betrekking tussen binomiaalcoëfficiënten geeft:

.

De identiteit is vernoemd naar de Franse wiskundige Alexandre-Théophile Vandermonde, maar werd al in 1303 vermeld door de Chinese wiskundige Zhu Shijie (Chu Shi-Chieh).

Bewijs[bewerken]

De identiteit van Vandermonde kan bewezen worden op meerdere manieren.

Combinatorisch bewijs[bewerken]

Het aantal mogelijkheden om r elementen te kiezen uit een verzameling van n elementen van de ene soort en m elementen van een andere soort, is

.

Deze mogelijkheden kunnen ook gerealiseerd worden door eerst k elementen te kiezen uit de eerste soort, wat kan op

verschillende manieren, en vervolgens rk uit de andere soort, wat kan op

verschillende manieren. Dat betekent

mogelijkheden met k elementen van de eerste soort. Sommeren over k levert alle mogelijkheden, wat de identiteit van Vandermonde oplevert.

Algebraïsch bewijs[bewerken]

Er is een sterke relatie tussen combinatoriek en het binomium van Newton. Daarom is er ook een overeenkomstig algebraïsch bewijs. Enerzijds geldt:

en anderzijds:

.

Gelijkstellen van de coëfficiënten van xr levert de identiteit van Vandermonde.