Impliciete functiestelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de multivariabele analyse geeft de impliciete-functiestelling voorwaarden waaronder een relatie tussen twee of meer variabelen leidt tot een functionele relatie tussen de variabelen. Onder die voorwaarden zijn een of meer variabelen impliciet een functie van de overige. Het is echter niet in alle gevallen mogelijk voor zo'n impliciet gegeven functie ook een expliciete uitdrukking te vinden.

De stelling is een hulpmiddel dat het mogelijk maakt sommige relaties om te zetten in functies. Dit kan begrepen worden door de relatie in een grafiek weer te geven. Weliswaar is het mogelijk dat er geen enkele functie is, waarvan de grafiek overeenkomt met de gehele grafiek van de relatie, maar een deel van de grafiek kan soms geïnterpreteerd worden als de grafiek van een functie. De impliciete-functiestelling geeft een voldoende voorwaarde waaronder een dergelijke functie bestaat.

De impliciete-functiestelling stelt dat, indien de vergelijking (een impliciete functie) voldoet aan een aantal zwakke voorwaarden met betrekking tot haar partiële afgeleiden, men deze vergelijking in principe kan oplossen naar , althans op een voldoend kleine omgeving van een gegeven punt. De oplossing is in deze omgeving impliciet een functie van .

Geschiedenis[bewerken]

De Franse wiskundige Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) formuleerde voor het eerst een strenge vorm van de impliciete-functiestelling voor reële functies, en Ulisse Dini (1845–1918) generaliseerde de stelling voor functies van meer veranderlijken.[1]

Voorbeeld[bewerken]

De eenheidscirkel gegeven door de relatie

In de figuur is de eenheidscirkel de grafiek van de relatie

.

Deze grafiek kan niet beschouwd worden als de grafiek van één bepaalde functie. Wel kan in de omgeving van het punt A, opgevat worden als functie van , in dit geval expliciet als

Rond het punt B is echter weer niet impliciet als functie van bepaald, maar kan daar als funcie van opgevat worden.

Stelling[bewerken]

Laat en open deelverzamelingen zijn van de reële getallen, en

een continu differentieerbare afbeelding.

Als voor zekere geldt:

en

dan zijn er open omgevingen van en van en een eenduidig bepaalde continu differentieerbare afbeelding , zodanig dat

en voor alle , geldt

.

Bovendien is de afgeleide van voor gegeven door:

Referenties[bewerken]

  1. Krantz, Steven, The Implicit Function Theorem, Birkhauser, 2003. ISBN 0-8176-4285-4.