Indicator (getaltheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal , genoteerd als , het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die onderling ondeelbaar zijn met . Zo is bijvoorbeeld , omdat van elk van de vier oneven getallen 1, 3, 5 en 7 de grootste gemene deler met 8 gelijk is aan 1 en daarom onderling ondeelbaar met 8 worden genoemd. Voor een priemgetal is .

De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die deze functie uitgebreid bestudeerde.

De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van natuurlijke getallen modulo . Meer precies is de orde van de vermenigvuldigingsgroep van de omkeerbare elementen in de ring . Dit feit, samen met de stelling van Lagrange over de orde van een deelgroep, geeft een bewijs voor de stelling van Euler.

Berekening van de indicator[bewerken]

Uit de definitie volgt dat en voor priemgetallen . Bovendien is een multiplicatieve functie: als en onderling ondeelbaar zijn, is . (Schets van het bewijs: Zij A, B, C de verzameling residuklassen modulo-en-onderling-ondeelbaar-tot m, n, mn respectievelijk; dan is er een bijectie tussen A×B en C, via de Chinese reststelling.)

De waarde van kan dus berekend worden met de hoofdstelling van de rekenkunde. Als

waarin de verschillende priemgetallen zijn, dan is

Deze laatste formule is een euler-product en wordt meestal geschreven als

met het product over alle priemgetallen die deler zijn van .

Andere eigenschappen[bewerken]

Het getal φ(n) is ook gelijk aan het aantal generators van de cyclische groep Cn. Omdat ieder element van Cn een cyclische deelgroep genereert en de deelgroepen van Cn van de vorm Cd zijn waarin d deelt n (geschreven als d|n), krijgen we

waarin de som zich uitstrekt over alle positieve delers d van n.

We gebruiken nu de Möbius-inversieformule om deze som om te draaien en een andere formule te krijgen voor φ(n)

waarin de gebruikelijke möbiusfunctie gedefinieerd over de positieve natuurlijke getallen.

Als a onderling ondeelbaar is met n, of, ggd(a,n)=1 dan

.

Voortbrengende functies[bewerken]

Een Dirichlet-reeks met φ(n) is

Een Lambert-rij voortbrengende functie is

welke waar is voor alle |q|<1.

Groei van de functie[bewerken]

De groei van φ(n) als een functie van n is een interessante vraag, omdat de eerste indruk dat bij een kleine n φ(n) veel kleiner is dan n ietwat misleidend is. Asymptotisch hebben we

n1−ε < φ(n) < n

voor iedere ε > 0 en n > N(ε). Als we beschouwen:

φ(n)/n

kunnen we dat schrijven, vanuit bovenstaande formule, als het product van factoren

1 −p−1

over de priemgetallen p die n delen. Uit de priemgetalstelling kan aangetoond worden dat voor constante ε dit vervangen kan worden door

C loglog n/log n.

Dit is ook waar in het gemiddelde:

waarin de grote O een Landau-symbool is.

Enkele functiewaarden[bewerken]

Grafiek van de eerste 100 waarden van de Eulerfunctie. De waarden op de bovenste lijn behoren bij de priemgetallen.
n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n)
1 1 11 10 21 12 31 30 41 40 51 32 61 60 71 70
2 1 12 4 22 10 32 16 42 12 52 24 62 30 72 24
3 2 13 12 23 22 33 20 43 42 53 52 63 36 73 72
4 2 14 6 24 8 34 16 44 20 54 18 64 32 74 36
5 4 15 8 25 20 35 24 45 24 55 40 65 48 75 40
6 2 16 8 26 12 36 12 46 22 56 24 66 20 76 36
7 6 17 16 27 18 37 36 47 46 57 36 67 66 77 60
8 4 18 6 28 12 38 18 48 16 58 28 68 32 78 24
9 6 19 18 29 28 39 24 49 42 59 58 69 44 79 78
10 4 20 8 30 8 40 16 50 20 60 16 70 24 80 32

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]