Indicatorfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
 1
 0
Grafiek van de indicatorfunctie van een tweedimensionale deelverzameling van een vierkant

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de indicatorfunctie van een deelverzameling, een functie die aangeeft welke elementen tot de deelverzameling behoren en welke niet. Karakteristieke functie komt ook in plaats van indicatorfunctie voor, maar dat heeft ook andere betekenissen.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een verzameling en een deelverzameling van . De indicatorfunctie van is de functie gedefinieerd door:

die dus de elementen van op het getal 1 afbeeldt, en de elementen van het complement van op het getal 0. is hier de universele verzameling van de gedefinieerde indicatorfunctie .

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een verzameling en en twee deelverzamelingen van .

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • Zij en , dan is de indicatorfunctie van bepaald door en .
  • De indicatorfunctie van zelf is voor alle elementen van gelijk aan 1.
  • De indicatorfunctie van de lege verzameling als deelverzameling van de verzameling is overal 0.

Gebruik[bewerken | brontekst bewerken]

Er is een bijectie tussen de machtsverzameling van en de verzameling van alle functies van naar , door de indicatorfunctie op iedere deelverzameling van toe te passen. In het algemeen wordt de verzameling van alle functies tussen twee gegeven verzamelingen en genoteerd als . Dit verklaart waarom de machtsverzameling van vaak als genoteerd wordt, als we de verzameling met het symbool 2 aan te duiden.

Indicatorfuncties vormen een brug om stellingen over reëelwaardige functies op verzamelingen toe te passen. In de maattheorie wordt vaak het omgekeerde toegepast: men bewijst een tamelijk eenvoudige stelling over de maat van een deelverzameling en formuleert daarna een algemene stelling over de integraal van een meetbare functie. Als tussenstap wordt vaak de integraal van een enkelvoudige functie beschouwd, een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties.