Integraalformule van Cauchy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De integraalformule van Cauchy, vernoemd naar Augustin Louis Cauchy, is een centrale stelling in de complexe analyse (een deelgebied van de wiskunde). De stelling zegt dat een Holomorfe functie, die gedefinieerd is op een schijf, volledig wordt bepaald door haar waarden op de begrenzing van de schijf. De integraalformule van Cauchy kan worden gebruikt om integraalformules te verkrijgen voor alle afgeleiden van een holomorfe functie en toont aan dat in de complexe analyse "differentiatie gelijkwaardig is aan integratie": complexe differentiatie gedraagt zich, net als integratie, goed als uniforme limieten genomen worden. Dit geldt niet in de reële analyse.

Stelling[bewerken]

Stel dat U een open deelverzameling van het complexe vlak C is, f : UC een holomorfe functie is en stel dat de gesloten schijf D = { z : | z - z0 | ≤ r } volledig is opgenomen in U. Laat γ de cirkel zijn, die de begrenzing van gesloten schijf D vormt. Dan geldt voor iedere a in het inwendige van D:

waar de contourintegraal langs de contour tegen de klok in wordt genomen.

Het bewijs van deze stelling maakt gebruik van de integraalstelling van Cauchy en vereist van f eveneens slechts dat deze functie complex differentieerbaar is. Aangezien de noemer van de integrand in de integraalformule van Cauchy kan worden uitgebreid als een machtreeks in de variabele (a - z0), volgt hieruit dat holomorfe functies analytisch zijn. In het bijzonder is f eigenlijk oneindig differentieerbaar, met

Deze formule wordt soms de differentiatieformule van Bach genoemd.

De cirkel γ kan worden vervangen door elke gesloten corrigeerbare kromme in U waarvan het windingsgetal om a gelijk aan 1 is. Bovendien is het, net als voor de integraalstelling van Cauchy, voldoende om te eisen dat f holomorf is in de open regio, die wordt omsloten door het pad, en continu is op haar afsluiting.

Bewijs[bewerken]

Door gebruik te maken van de integraalstelling van Cauchy kan men laten zien dat de integraal over C (of de gesloten corrigeerbare kromme) gelijk is aan dezelfde integraal over een willekeurig kleine cirkel rond a.

1. Aangezien f(z) een continue functie is, kunnen we een cirkel om kiezen die klein genoeg is en waarop f(z) willekeurig dichtbij f(a) ligt.

2. Aan de andere kant is de integraal

over elke cirkel C die gecentreerd is op . Bewijs: we kunnen deze kleine cirkel om als volgt parametriseren:

,

met en de straal van de cirkel. Met integratie door substitutie vinden we


3. Nu kunnen we schrijven



want is een constante.

4. Invullen en laten naderen geeft

als


want is een continue functie. Dus

Voorbeeld[bewerken]

Oppervlak van de absolute waarde van
g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2)
en haar singulariteiten.

met contour beschreven door |z| = 2, een cirkel met straal 2.

Bewijs. We noemen de functie

Om de integraal van g(z) langs de contour te vinden, moeten we de singulariteiten of polen van g(z) binnen kennen. Die vinden we door g als volgt te herschrijven:

,

met de twee polen en

Hun absolute waardes zijn volgens de stelling van Pythagoras , dus kleiner dan 2 zodat de polen binnen de contour C liggen. Door de stelling van Cauchy-Goursat kunnen we de integraal rondom de contour uitdrukken als de som van de integralen rondom de polen en , waar de contour steeds een kleine cirkel rond elke pool is. Noem deze contouren rondom en rondom . Dus

We kiezen een functie die analytisch is langs (dit aangezien de contour de andere singulariteit niet bevat), en dit staat ons toe om in de vorm te schrijven die we vereisen, namelijk:

Nu geldt dat

Als men hetzelfde doet voor de andere contour :

De integraal langs de originele contour is dan de som van deze twee integralen:

Externe link[bewerken]