Integraalformule van Cauchy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De integraalformule van Cauchy, genoemd naar Augustin Louis Cauchy, is een centrale stelling in de complexe analyse (een deelgebied van de wiskunde). De stelling zegt dat een Holomorfe functie, die gedefinieerd is op een schijf, volledig wordt bepaald door haar waarden op de begrenzing van de schijf. De integraalformule van Cauchy kan worden gebruikt om integraalformules te verkrijgen voor alle afgeleiden van een holomorfe functie en toont aan dat in de complexe analyse "differentiatie gelijkwaardig is aan integratie": complexe differentiatie gedraagt zich, net als integratie, goed als uniforme limieten genomen worden. Dit geldt niet in de reële analyse.

Stelling[bewerken]

Stel dat een open deelverzameling van het complexe vlak is, een holomorfe functie is en stel dat de gesloten schijf volledig is opgenomen in . Laat de cirkel zijn die de begrenzing van de gesloten schijf vormt. Dan geldt voor iedere in het inwendige van :

waar de contourintegraal langs de contour tegen de klok in wordt genomen.

Het bewijs van deze stelling maakt gebruik van de integraalstelling van Cauchy en vereist van eveneens slechts dat deze functie complex differentieerbaar is. Aangezien de noemer van de integrand in de integraalformule van Cauchy kan worden uitgebreid als een machtreeks in de variabele , volgt hieruit dat holomorfe functies analytisch zijn. In het bijzonder is eigenlijk oneindig differentieerbaar, met

Deze formule wordt soms de differentiatieformule van Bach genoemd.

De cirkel kan worden vervangen door elke gesloten corrigeerbare kromme in waarvan het windingsgetal om gelijk aan 1 is. Bovendien is het, net als voor de integraalstelling van Cauchy, voldoende om te eisen dat holomorf is in de open regio, die wordt omsloten door het pad, en continu is op haar afsluiting.

Bewijs[bewerken]

Door gebruik te maken van de integraalstelling van Cauchy kan men laten zien dat de integraal over C (of de gesloten corrigeerbare kromme) gelijk is aan dezelfde integraal over een willekeurig kleine cirkel rond a.

1. Aangezien een continue functie is, kunnen we een cirkel om kiezen die klein genoeg is en waarop willekeurig dichtbij ligt.

2. Aan de andere kant is de integraal

over elke cirkel die gecentreerd is op . Bewijs: we kunnen deze kleine cirkel om als volgt parametriseren:

,

met en de straal van de cirkel. Met integratie door substitutie vinden we

3. Nu kunnen we schrijven

want is een constante.

4. Invullen en laten naderen geeft

als

want is een continue functie. Dus

Voorbeeld[bewerken]

Oppervlak van de absolute waarde van

en haar singulariteiten.

met contour beschreven door , een cirkel met straal 2.

Bewijs

We noemen de functie

Om de integraal van langs de contour te vinden, moeten we de singulariteiten of polen van binnen kennen. Die vinden we door als volgt te herschrijven:

,

met de twee polen en .

Hun absolute waardes zijn volgens de stelling van Pythagoras , dus kleiner dan 2 zodat de polen binnen de contour liggen. Door de stelling van Cauchy-Goursat kunnen we de integraal rondom de contour uitdrukken als de som van de integralen rondom de polen en , waar de contour steeds een kleine cirkel rond elke pool is. Noem deze contouren rondom en rondom . Dus

We kiezen een functie die analytisch is langs (dit aangezien de contour de andere singulariteit niet bevat), en dit staat ons toe om in de vorm te schrijven die we vereisen, namelijk:

Nu geldt dat

Als men hetzelfde doet voor de andere contour :

De integraal langs de originele contour is dan de som van deze twee integralen:

Externe link[bewerken]