De integraalformule van Cauchy, genoemd naar Augustin Louis Cauchy, is een centrale stelling in de complexe analyse (een deelgebied van de wiskunde). De stelling zegt dat een Holomorfe functie, die gedefinieerd is op een schijf, volledig wordt bepaald door haar waarden op de begrenzing van de schijf. De integraalformule van Cauchy kan worden gebruikt om integraalformules te verkrijgen voor alle afgeleiden van een holomorfe functie en toont aan dat in de complexe analyse "differentiatie gelijkwaardig is aan integratie": complexe differentiatie gedraagt zich, net als integratie, goed als uniforme limieten genomen worden. Dit geldt niet in de reële analyse.
Stel dat
een open deelverzameling van het complexe vlak is,
een holomorfe functie is en stel dat de gesloten schijf
volledig is opgenomen in
. Laat
de cirkel zijn die de begrenzing van de gesloten schijf
vormt. Dan geldt voor iedere
in het inwendige van
:

waar de contourintegraal
langs de contour
tegen de klok in wordt genomen.
Het bewijs van deze stelling maakt gebruik van de integraalstelling van Cauchy en vereist van
eveneens slechts dat deze functie complex differentieerbaar is. Aangezien de noemer van de integrand in de integraalformule van Cauchy kan worden uitgebreid als een machtreeks in de variabele
, volgt hieruit dat holomorfe functies analytisch zijn. In het bijzonder is
eigenlijk oneindig differentieerbaar, met

Deze formule wordt soms de differentiatieformule van Bach genoemd.
De cirkel
kan worden vervangen door elke gesloten corrigeerbare kromme in
waarvan het windingsgetal om
gelijk aan 1 is. Bovendien is het, net als voor de integraalstelling van Cauchy, voldoende om te eisen dat
holomorf is in de open regio, die wordt omsloten door het pad, en continu is op haar afsluiting.
Door gebruik te maken van de integraalstelling van Cauchy kan men laten zien dat de integraal over
(of de gesloten corrigeerbare kromme) gelijk is aan dezelfde integraal over een willekeurig kleine cirkel rond
.
1. Aangezien
een continue functie is, kunnen we een cirkel om
kiezen die klein genoeg is en waarop
willekeurig dichtbij
ligt.
2. Aan de andere kant is de integraal

over elke cirkel
die gecentreerd is in
. Bewijs: we kunnen deze kleine cirkel om
als volgt parametriseren:
,

met
en
de straal van de cirkel. Met integratie door substitutie vinden we

3. Nu kunnen we schrijven

want
is een constante.
4. Invullen en
laten naderen geeft



als 
want
is een continue functie. Dus

Oppervlak van de absolute waarde van

en haar singulariteiten.

met contour
beschreven door
, een cirkel met straal 2.
- Bewijs
Noem de functie

Om de integraal van
langs de contour
te vinden, moeten we de singulariteiten of polen van
binnen
kennen. Die vinden we door
als volgt te herschrijven:
,
met de twee polen
en
.
Hun absolute waardes zijn volgens de stelling van Pythagoras
, dus kleiner dan 2 zodat de polen binnen de contour
liggen. Door de stelling van Cauchy-Goursat kunnen we de integraal rondom de contour uitdrukken als de som van de integralen rondom de polen
en
, waar de contour steeds een kleine cirkel rond elke pool is. Noem deze contouren
rondom
en
rondom
. Dus

We kiezen een functie
die analytisch is langs
(dit aangezien de contour
de andere singulariteit
niet bevat), en dit staat ons toe om
in de vorm te schrijven die we vereisen, namelijk:

Nu geldt dat


Als men hetzelfde doet voor de andere contour
:


De integraal langs de originele contour
is dan de som van deze twee integralen:

