Integraaltransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een integraaltransformatie een transformatie van de vorm:

Daarin is de functie de bij de transformatie behorende integraalkern, ook kort met kern aangeduid.

De transformatie voegt aan een functie een andere functie toe, die voor sommige toepassingen wel geschikt is voor verdere analyse, terwijl de oorspronkelijke functie dat niet is.

Een integraaltransformatie is geheel vergelijkbaar met een lineaire afbeelding in de lineaire algebra. Voor een dergelijke afbeelding laat het beeld van de vector zich ten opzichte van gekozen bases op de gebruikelijke manier schrijven als:

waarin de bijbehorende matrix van is, en en de indices zijn. Hierin is duidelijk de anologie met de bovenstaande definitie zien.

Er bestaan heel wat nuttige integraaltransformaties, corresponderend met verschillende keuzes van de integraalkern en de integraalgrenzen.

Tabel van Integraaltransformaties
Transformatie Symbool Kern t1 t2
Fourier-transformatie
Mellin-transformatie
Tweezijdige Laplace-transformatie
Laplace-transformatie
Hankel-transformatie
Abel-transformatie
Hilbert-transformatie
Identiteitstranformatie  

Hoewel de eigenschappen van de verschillende integraaltransformaties sterk variëren, hebben ze enkele eigenschappen gemeen. Elke integraaltransformatie is bijvoorbeeld een lineaire functionaal, aangezien de integraal lineair is. Indien als kern elke gegeneraliseerde functie is toegelaten, zijn alle lineaire functionalen integraaltransformaties (dit wordt geformuleerd in een belangrijke stelling door Schwartz).

Externe links[bewerken]

Bibliografie[bewerken]

  • A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4