Geheel element

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Integraliteit (algebra))
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de commutatieve algebra wordt een element van een commutatieve ring met eenheid geheel genoemd ten opzichte van een deelring (met eenheid) als dat element een nulpunt is van een monische polynoom met coëfficiënten in de deelring.

De eigenschap 'geheel' generaliseert enerzijds algebraïsche gehele getallen, en anderzijds een algebraïsche uitbreiding van een commutatief lichaam.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een element van een commutatieve ring met eenheidselement heet geheel of integraal over de deelring (met eenheid) van als een nulpunt is van een polynoom met coëfficiënten in waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht van gelijk is aan 1.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  1. De algebraïsche gehele getallen zijn precies de complexe getallen die geheel zijn over de ring der gehele getallen.
  2. Als en lichamen zijn, vormen de gehele elementen de algebraïsche sluiting van in .

Equivalente definities[bewerken | brontekst bewerken]

De volgende eigenschappen van een element van zijn gelijkwaardig met de eis dat een nulpunt is van een monische polynoom met coëfficiënten in :

  1. De ring is een eindig voortgebracht -moduul;
  2. de ring is een deel van een deelring van die een eindig voortgebracht -moduul vormt;
  3. er bestaat een getrouw -moduul dat, opgevat als -moduul, eindig voortgebracht is.

Gehele afsluiting[bewerken | brontekst bewerken]

De gehele afsluiting van in is de verzameling elementen van die geheel zijn over . Men kan aantonen dat dit een deelring is van .

De ring heet geheel gesloten in als hij gelijk is aan zijn gehele afsluiting in . De ring heet geheel gesloten over als al zijn elementen geheel zijn over .

Als een integriteitsgebied is, dan heeft hij een breukenlichaam . Een integriteitsgebied heet geheel gesloten (zonder meer) als het geheel gesloten is in zijn breukenlichaam.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

De gehele getallen zijn geheel gesloten (een breuk is pas nulpunt van een monische polynoom als ze gelijk is aan een geheel getal).

Algemener is ieder hoofdideaaldomein geheel gesloten.

De algebraïsche gehele getallen zijn geheel gesloten (dat wil zeggen, geheel gesloten in hun quotiëntenlichaam, het lichaam der algebraïsche getallen).

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]

  • (en) M.F. Atiyah en I.G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra" (Inleiding tot de commutatieve algebra), Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.