Isogonale verwantschap

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
P en Q zijn isogonaal verwanten
Voetpuntscirkel van twee isogonaal verwante punten
Constructie van isogonaal verwant punt Q van P met behulp van de voetpuntsdriehoek.
Isogonaal verwante punten P en Q op een van de cirkels die invariant is onder isogonale verwantschap.

In een driehoek ABC heten punten P en Q isogonaal verwant als

  • ,
  • én
  • .

Ieder punt P dat niet op een zijlijn van ABC ligt heeft een isogonaal verwante, hetgeen onmiddellijk duidelijk is uit de goniometrische vorm van de stelling van Ceva. Wanneer P op de omgeschreven cirkel van ABC ligt, dan is de isogonaal verwante een punt op de oneindig verre rechte.

Twee isogonaal verwante punten hebben dezelfde voetpuntscirkel.

Voorbeelden[bewerken]

Enkele isogonaal verwante paren:

Constructies[bewerken]

Het isogonaal verwante punt Q van P kan op de volgende manieren worden geconstrueerd:

  1. Door het spiegelen van lijnen AP, BP en CP in de corresponderende bissectrices,
  2. Neem de voetpuntsdriehoek van P. De lijnen door de hoekpunten van ABC loodrecht op de corresponderende zijden van de voetpuntsdriehoek snijden in de isogonaal verwante van P,
  3. Door gebruik te maken van de eigenschap, dat twee isogonaal verwante punten dezelfde voetpuntscirkel hebben.

Involutie[bewerken]

Isogonale verwantschap kan worden opgevat als een involutie . In barycentrische coördinaten is de involutie gegeven door

Een lijn, die niet door A, B of C gaat, wordt afgebeeld op een kegelsnede door de hoekpunten van ABC:

  • Als de lijn de omgeschreven cirkel niet snijdt een ellips,
  • Als de lijn de omgeschreven cirkel raakt een parabool,
  • Als de lijn de omgeschreven cirkel snijdt een hyperbool.
  • Als de lijn door het middelpunt van de omgeschreven cirkel gaat een gelijkzijdige hyperbool.

Invariante kegelsnedes[bewerken]

Het beeld van een kegelsnede onder isogonale verwantschap is in het algemeen een vierdegraads kromme.

Uitzondering vormen onder meer de cirkels met als middellijn een lijnstuk tussen twee van de vier middelpunten van de ingeschreven en aangeschreven cirkels I, Ia, Ib en Ic. Deze zes cirkels zijn invariant onder isogonale verwantschap. Ieder punt op deze cirkels wordt op zijn spiegelbeeld afgebeeld in de definiërende diameter. Ieder van de zes cirkels gaat ook door twee hoekpunten van ABC.

Meer algemeen geldt dat elke kegelsnede door

  • B, C, I en Ia,
  • B, C, Ib en Ic,
  • A, C, I en Ib,
  • A, C, Ia en Ic,
  • A, B, I en Ic of
  • A, B, Ia en Ib

invariant is onder isogonale verwantschap.[1].

Overige[bewerken]

  • Bij uitbreiding wordt wel gezegd dat ieder hoekpunt van ABC isogonaal verwant is met elk punt van de overstaande zijde.
  • Soms worden ook de hoektransversalen door twee isogonaal verwante punten, dus antiparallel met de benen van die hoek, isogonaal verwant genoemd.
  • Een soortgelijke, maar ingewikkelder definitie geldt voor isotomische verwantschap.


  1. (en) S Sigur in Forum Geometricorum. Where are the conjugates?, 2005. vol 5. blz 1-15.