Brontekst bekijken van Isometrie (wiskunde)

In de [[wiskunde]] is een '''isometrie''' of '''isometrische afbeelding''' een [[Functie (wiskunde)|functie]] die twee [[metrische ruimte]]n op elkaar [[Afbeelding (wiskunde)|afbeeldt]] en die daarbij de [[afstand]]en bewaart. Bij een isometrie wordt een figuur steeds afgebeeld op een [[Congruentie (meetkunde)|congruente]] figuur. De [[Functiecompositie|samenstelling]] van twee of meer isometrieën is weer een isometrie.

De [[isometriegroep]] van een metrische ruimte is de [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle isometrieën van die metrische ruimte op zich zelf, met de [[functiecompositie]] als groepsbewerking. 

== Definitie ==
Zij <math>(M_1,d_1)</math> en <math>(M_2,d_2)</math> twee gegeven metrische ruimten, <math>x</math> en <math>y</math> twee [[Punt (wiskunde)|punten]] in <math>M_1</math> en <math>M_2</math> en <math>f: M_1 \rightarrow M_2</math> een afbeelding met de [[eigenschap]]:
: <math>d_2(f(x), f(y)) = d_1(x, y)</math>,
dan noemt men <math>f</math> een isometrie van <math>M_1</math> naar <math>M_2</math>

Een isometrie is altijd [[Injectiviteit|injectief]]. Als <math>f</math> [[bijectief|bijectief is]], noemt men <math>f</math> een isometrisch [[isomorfisme]] en noemt men de metrische ruimten <math>M_1</math> en <math>M_2</math> isometrisch isomorf. 

In andere gevallen noemt men <math>f</math> een isometrische [[inbedding]] van <math>M_1</math> in <math>M_2</math>.

== Euclidische isometrie ==
Een euclidische isometrie is een isometrie in de <math>n</math>-dimensionale [[euclidische ruimte]]. Ze zijn van de vorm <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}</math> met <math>A</math> een [[orthogonale matrix]], dus zodat <math>A^{-1} = A^T</math>, en vormen de [[euclidische groep]] <math>E(n)</math>.

Een directe isometrie is een euclidische isometrie die de [[Oriëntatie (chiraliteit)|oriëntatie]] niet verandert, ze vormen de speciale euclidische groep <math>\mathrm{SE}(n)</math>. Bij een directe isometrie is de [[determinant]] <math>\det(A)</math> van <math>A</math> gelijk aan 1, bij een indirecte -1. De samenstelling van een aantal isometrieën is dus direct als het aantal indirecte isometrieën even is en anders indirect.

Bij een directe isometrie is een geleidelijke overgang via tussenliggende isometrieën mogelijk van de identiteit naar die isometrie, alsof een traject in stappen wordt afgelegd.

Indirect zijn:
* een dimensie: [[Spiegeling (meetkunde)|spiegeling]] in een punt
* twee dimensies: spiegeling in een lijn, inclusief [[glijspiegeling]]
* drie dimensies: spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling 

=== Isometrieën in een euclidische ruimte met de oorsprong als dekpunt ===
De isometrieën in de <math>n</math>-dimensionale euclidische ruimte met de oorsprong als [[dekpunt]] vormen de [[orthogonale groep]] <math>\mathrm{O}(n)</math>. Ze worden geheel bepaald door hun [[Restrictie (wiskunde)|restrictie]] tot de [[eenheidsbol]] van de betreffende ruimte: in één dimensie twee punten, in twee dimensies een [[cirkel]] en in drie dimensies een [[Sfeer (wiskunde)|boloppervlak]]. De algemene vorm is <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}</math> met <math>A</math> een [[orthogonale matrix]], dus <math>\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{x}) = A^T\mathbf{x}</math>.

=== Isometrieën in het euclidische vlak ===
<math>\mathrm{SE}(2)</math> is de verzameling directe isometrieën in het euclidische vlak. Elk element is van een van de volgende types:
* rotatie om <math>\mathbf{x_0}</math>: <math>\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x_0}+A(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})=A \mathbf{x}+(I-A)\mathbf{x_0}</math>
* [[Translatie (meetkunde)|translatie]]: <math>\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{t}</math>
met als gemeenschappelijk triviaal geval de [[identieke afbeelding]] <math>\mathbf{x}</math>. De overige rotaties en translaties worden de echte genoemd.

Een combinatie van een echte rotatie en een translatie is altijd een pure rotatie over dezelfde hoek, met een ander draaipunt. <math>I-A</math> is dan [[inverteerbaar]].

De rest van <math>\mathrm{E}(2)</math> bestaat uit de indirecte isometrieën: de [[glijspiegeling]], dit is [[Spiegeling (meetkunde)|spiegeling]] ten opzichte van een lijn met een translatie [[evenwijdig]] aan die lijn, met als speciaal geval een pure spiegeling.

Indeling naar de verzameling [[dekpunt]]en:
* het hele vlak: identieke afbeelding
* een lijn: pure spiegeling
* een punt: echte rotatie
* leeg:
** echte translatie
** echte glijspiegeling

Hier moeten bijzondere gevallen in ieder geval wel apart worden behandeld en wordt 'echt' bij de overige toegevoegd.

Indeling naar aantal [[Vrijheidsgraad|vrijheidsgraden]]:
* 0: identieke afbeelding
* 2:
** translatie 
** pure spiegeling
* 3:
** rotatie
** glijspiegeling

==== Isometrieën in het euclidische vlak met de oorsprong als dekpunt ====
De [[Orthogonale groep|orthogonale groep {{math|O(2)}}]] is de [[Groep (wiskunde)|groep]] van isometrieën in het euclidische vlak met de oorsprong als [[dekpunt]] en ook die op de [[eenheidscirkel]]. De algemene vorm is <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}</math> met <math>A</math> een [[orthogonale matrix]], dus <math>\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{x}) = A^T\mathbf{x}</math>.

<math>\det(A) = 1</math> voor rotaties om de oorsprong en <math>\det(A) = -1</math> voor [[Spiegeling (meetkunde)|spiegelingen]] ten opzichte van een lijn door de oorsprong.

Een combinatie van een rotatie en een spiegeling is een spiegeling in een andere lijn.

Indeling naar de verzameling dekpunten:
* het hele vlak: identieke afbeelding
* een lijn: pure spiegeling
* alleen de oorsprong: echte rotatie

Indeling naar aantal [[vrijheidsgraden]]:
* 0: identieke afbeelding
* 1: rotatie 
* 1: spiegeling

=== Isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte ===
De isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte zijn:
* <math>\mathrm{SE}(3)</math>, directe isometrieën, mogelijke veranderingen van positie en stand van een [[star lichaam]]: schroefverplaatsing, dat wil zeggen rotatie met translatie langs de as, met als speciale gevallen geen rotatie en/of geen translatie
* de rest van <math>\mathrm{E}(3)</math>, indirecte isometrieën: draaispiegeling, een spiegeling met rotatie om een as [[Loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op de spiegel, en [[glijspiegeling]], een translatie met een translatievector evenwijdig aan de spiegel, met als gemeenschappelijk triviaal geval een pure spiegeling

Voor elke directe isometrie <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}</math> met <math>A</math> dus een [[orthogonale matrix]] met <math>\det(A)=1</math>, is er anders dan in twee dimensies een indirecte isometrie <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{b} - A\mathbf{x}</math>.

Indeling naar de verzameling dekpunten:
*  de hele ruimte: [[identieke afbeelding]]
* een vlak: pure spiegeling
* een lijn: echte rotatie
* een punt: echte draaispiegeling
* leeg:
** echte translatie en echte schroefverplaatsing
** echte glijspiegeling

Indeling naar aantal vrijheidsgraden:
* 0: identieke afbeelding
* 3:
** translatie 
** pure spiegeling
* 5:
** rotatie
** glijspiegeling
* 6:
** schroefverplaatsing 
** draaispiegeling

De [[puntspiegeling]] of inversie ten opzichte van een punt <math>\mathbf{b}</math> is de speciale draaispiegeling <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = 2\mathbf{b}-\mathbf{x}</math>, met drie vrijheidsgraden. Anders dan andere draaispiegelingen is deze onafhankelijk van de richting van de rotatie-as.

Een achirale isometriegroep van de driedimensionale ruimte die deze puntspiegeling bevat en waarvan elke isometrie <math>\mathbf{b}</math> als dekpunt heeft, bestaat uit zijn directe isometrieën en voor elk de samenstelling met deze puntspiegeling. Deze samenstelling is [[commutatief]].

==== Isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte met de oorsprong als dekpunt ====
[[Orthogonale groep|{{math|O(3)}}]] is de groep van isometrieën in de driedimensionale euclidische ruimte met de oorsprong als dekpunt, en ook die op de eenheidsbol. De algemene vorm is <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}</math> met <math>A</math> een [[orthogonale matrix]], en dus <math>\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{x}) = A^T\mathbf{x}</math>.

<math>\det(A)=1</math> voor rotaties om de oorsprong en <math>\det(A)=-1</math> voor [[Spiegeling (meetkunde)|spiegelingen]] ten opzichte van een vlak door de oorsprong, of een draaispiegeling.

Voor elke directe isometrie <math>\mathbf{f}(\mathbf{x})=A\mathbf{x}</math> met dus <math>\det(A)=1</math>, is er een indirecte isometrie <math>\mathbf{f}(\mathbf{x})=-A\mathbf{x}</math>.

Indeling naar de verzameling dekpunten:
* de hele ruimte: [[identieke afbeelding]]
* een vlak: pure spiegeling
* een lijn: echte rotatie
* alleen de oorsprong: echte draaispiegeling

Indeling naar aantal vrijheidsgraden:
* 0: identieke afbeelding
* 2: pure spiegeling
* 3: 
** rotatie
** draaispiegeling

De puntspiegeling ten opzichte van de oorsprong is de speciale draaispiegeling <math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) = -\mathbf{x}</math>, met 0 vrijheidsgraden. Anders dan andere draaispiegelingen is deze onafhankelijk van de rotatie-as. Een achirale isometriegroep van de driedimensionale ruimte die deze puntspiegeling bevat bestaat uit zijn directe isometrieën en voor elk de samenstelling met deze puntspiegeling. Deze samenstelling is [[Commutativiteit|commutatief]].

== Isometrieën in het complexe vlak ==
Isometrieën in het [[complexe vlak]], met als afstand tussen twee [[Complex getal|complexe getallen]] de [[absolute waarde]] van het verschil, komen overeen met de isometrieën in het euclidische vlak. 

Met complexe getallen <math>a</math> en <math>b</math>, waarbij <math>|a| = 1</math>, zijn de isometrieën:<ref>T Collins, A Reaves, T Naugle en G Williams. 
[https://www.math.lsu.edu/system/files/RP2%20paper.pdf. A classification of Frieze patterns], {{pdf}} [https://web.archive.org/web/20230803131340/https://www.math.lsu.edu/system/files/RP2%20paper.pdf Gearchiveerd] op 3 augustus 2023.</ref>
* <math>f(z) = az + b</math>, de directe isometrieën
* <math>f(z) = a \overline z + b</math>, de indirecte isometrieën

Niet alleen translaties, maar ook rotaties, spiegelingen en glijspiegelingen in een vlak kunnen zo eenvoudig genoteerd worden.

Het equivalent van translatievector is hierbij translatiegetal.

{{Appendix|Voetnoten}}

[[Categorie:Metriek]]