Arp begon met voetballen bij SV Wahlstedt. Hij werd in 2010 opgenomen in de jeugdopleiding van Hamburger SV en kreeg in 2017 de Fritz Walter Medaille voor beste speler tot zeventien jaar toegekend. Arp maakte op 30 september 2017 zijn debuut in het betaald voetbal. Hij viel die dag in de 89e minuut in voor Bobby Wood tijdens een wedstrijd in de Bundesliga, thuis tegen Werder Bremen (0–0). Zijn eerste doelpunt in het profvoetbal maakte hij op 28 oktober 2017, tijdens een competitiewedstrijd uit bij Hertha BSC. Hamburger verloor desondanks met 2–1.
Arp kwam in februari 2019 tot een akkoord met FC Bayern München over een transfer. Daarbij werd afgesproken dat hij zelf mocht kiezen of hij op 1 juli 2019 zou overstappen of op 1 juli 2020.[1] Dit bleek een maand later de eerste optie.
Arp speelde vier wedstrijden voor Duitsland –16 en debuteerde in 2016 in Duitsland –17. Daarmee nam hij in 2017 deel aan zowel het EK –2017 als het WK –17. Op het EK maakte hij zeven doelpunten en kwam hij met zijn leeftijdsgenoten tot de halve finale. Daarin won de latere toernooiwinnaar Spanje –17 een beslissende strafschoppenserie. Op het WK scoorde hij vijf keer voordat Brazilië –17 de Duitsers in de kwartfinale uitschakelde
Duitsland
