Kansgenererende functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Als een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van gedefinieerd als:

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Genereren van kansen[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:

Gelijke verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

Momentgenererende functie[bewerken | brontekst bewerken]

Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

Som van twee stochastische variabelen[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van de som van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:


Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Ontaarde verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van een in het punt ontaarde verdeling, waarvoor dus , is

Bernoulli-verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van de bernoulli-verdeling met parameter , is

Binomiale verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters en , is

Merk op dat dit de -de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Geometrische verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter , is

Negatief-binomiale verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters en , is

Merk op dat dit de -de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Poisson-verdeling[bewerken | brontekst bewerken]

De kansgenererende functie van de poisson-verdeling met parameter , is