Kansgenererende functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten.

Definitie[bewerken]

Als N een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van N gedefinieerd als:

Eigenschappen[bewerken]

Genereren van kansen[bewerken]

De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:

Gelijke verdeling[bewerken]

Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

Momentgenererende functie[bewerken]

Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

Som van twee stochastische variabelen[bewerken]

De kansgenererende functie van de som X + Y van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:


Voorbeelden[bewerken]

Ontaarde verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van een in het punt k ontaarde verdeling, waarvoor dus P(N = k) = 1, is

Bernoulli-verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling met parameter p, is

Binomiale verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters n en p, is

Merk op dat dit de n-de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Geometrische verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter p, is

Negatief-binomiale verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters m en p, is

Merk op dat dit de m-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Poisson-verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de Poisson-verdeling met parameter μ, is