Kansverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de kansrekening speelt het begrip kansverdeling, waarschijnlijkheidsverdeling of -distributie (niet te verwarren met het gelijknamige begrip distributie in de analyse) een centrale rol. Bij een experiment waarin het toeval een rol speelt, geeft de kansverdeling aan hoe "de kansen verdeeld zijn". In de theorie wordt hier een specifieke betekenis aan gegeven, maar meer algemeen duidt men met kansverdeling wel het geheel van mogelijke uitkomsten en bijbehorende kansen aan.

Zo wordt bij een worp met een zuivere dobbelsteen de kansverdeling van het geworpen ogenaantal wel beschreven als gelijk aan 1/6 voor elke uitkomst. Strikt genomen is dit echter de kansfunctie, waarmee overigens de kansverdeling wel vastgelegd wordt.

Het formele begrip kansverdeling is voornamelijk van theoretisch belang en zelfs daar zal vaker met de verdelingsfunctie, die geheel bepalend is voor de kansverdeling, gewerkt worden. Bij discrete kansverdelingen wordt de verdelingsfunctie op zijn beurt weer geheel bepaald door een kansfunctie en bij continue veranderlijken (absoluut continue verdelingsfunctie) door een kansdichtheid.

Formele definitie van een (kans)verdeling[bewerken]

De kansverdeling van een stochastische variabele is gedefinieerd voor (meetbare) deelverzamelingen van door:

De kansverdeling van de stochastische variabele kan geheel worden vastgelegd door de (cumulatieve kans)verdelingsfunctie van , gedefinieerd door:

Omgekeerd bepaalt de verdelingfunctie de kansverdeling, aangezien de intervallen de meetbare verzamelingen voortbrengen.

Overigens wordt ook zonder referentie aan een stochastische variabele de kansmaat wel aangeduid als kansverdeling. Dit is ook de kansverdeling van de stochastische variabele .

Belangrijke kansverdelingen[bewerken]

Hieronder staan enkele bekende kansverdelingen genoemd. Afhankelijk van het type stochastische variabele (continu of discreet) kunnen de voorbeelden van kansverdelingen ook worden onderverdeeld in continue kansverdelingen en discrete kansverdelingen. Het betreft het algemene begrip kansverdeling, gegeven door de kansfunctie in een discrete situatie of door de kansdichtheid in het continue geval.

  • Discrete kansverdelingen
    • Stochastische variabelen met eindig waardenbereik
      • gedegenereerde verdeling bij , waarbij met kans 1 de waarde zal aannemen
      • uniforme verdeling (discreet), waarbij alle elementen van een eindige verzameling een even grote kans hebben (bv. bij het gooien met een zuivere munt, of zuivere dobbelsteen)
      • Bernoulli-verdeling, die de waarde 1 heeft met kans , en de waarde 0 met kans
      • binomiale verdeling, die de kans op een bepaald aantal 'successen' aangeeft, bij uitvoeren van een reeks onafhankelijke 'ja/nee' experimenten
      • hypergeometrische verdeling, die het aantal 'successen' geeft in de eerste van een reeks van onafhankelijke 'ja/nee' experimenten, bij een gegeven totaal aantal successen
    • Stochastische variabelen met oneindig waardenbereik
      • geometrische verdeling, die het aantal 'pogingen' geeft tot het eerste succes bij een reeks onafhankelijke ja/nee experimenten; "wachten op succes";
      • negatief-binomiale verdeling, een generalisatie van de geometrische verdeling (-de succes in plaats van eerste succes); "wachten op -de keer succes"
      • poissonverdeling, kansen op een bepaald aantal sporadische gebeurtenissen binnen een gegeven tijdinterval
  • Continue kansverdelingen