Kaprekargetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een Kaprekargetal is in de wiskunde een geheel getal dat een specifieke eigenschap bezit. De Kaprekargetallen zijn genoemd naar de Indiase wiskundige Kaprekar (1905–1986).

Een geheel getal heet, bij een gegeven grondtal, een Kaprekargetal als het kwadraat ervan in twee getallen kan worden gesplitst, met samen hetzelfde aantal cijfers als het originele getal, die wanneer bij elkaar opgeteld weer het originele getal opleveren. Bijvoorbeeld, het 3-cijferige getal 703 is, bij het gebruikelijke grondtal 10, een Kaprekargetal, omdat 7032 = 494209, en 494209 gesplitst kan worden in 494 en 209, en 494 + 209 = 703.

Definitie[bewerken]

Het natuurlijke getal k heet een Kaprekargetal bij het grondtal , als er getallen zijn, met , zo dat:

Kaprekargetallen t/m 533170[bewerken]

De eerste 39 Kaprekargetallen bij het grondtal 10 zijn:[1]

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

De eerste 9 hiervan controleren:

Zoals te zien is, lijken de getallen alle kaprekargetallen. Dat kan ook bewezen worden. Stel

,

dan is

,

dus

en

Inderdaad is

en

6174[bewerken]

  • Voor 6174, de constante van Kaprekar geldt dat een gegeven rij getallen, gedefinieerd met een serie bewerkingen op die getallen, steeds bij 6174 uitkomt en daarna hetzelfde blijft.