Kegel (ruimtelijke figuur)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een kegel

Een kegel of conus is een ruimtelijke figuur die bestaat uit een cirkelschijf, de basis, en een gekromd vlak, de mantel of zijde, gevormd door alle lijnstukken tussen de cirkel en een punt verschillend van het middelpunt van de cirkel en loodrecht daarboven.

Ook de solide figuur die bestaat uit de bovengenoemde vlakken samen met de punten in het inwendige wordt kegel genoemd.

Meer algemeen is in de meetkunde een kegel of conus een ruimtelijke figuur die ontstaat door alle punten van een begrensd en samenhangend deel van een plat vlak, de basis, te verbinden met een punt, de top, gelegen buiten dat vlak. Er is geen eenduidigheid wat de definitie betreft. De basis kan bijvoorbeeld beperkt zijn tot gesloten vlakke krommen, of tot een daardoor omsloten gebied.

Kegelsneden[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Kegelsnede voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de meetkunde wordt met een kegel ook wel de onbegrensde ruimtelijke figuur bedoeld, die vanuit de bovenstaande figuur kan worden gemaakt door het bodemvlak weg te nemen, en die boven het bovenste puntje omgekeerd wordt herhaald. Van deze dubbele oneindige kegel zijn snijvlakken met een plat vlak bekend als de kegelsneden: cirkel, ellips, parabool en hyperbool. Strikt genomen zijn geïsoleerde punten en tweetallen elkaar snijdende rechten ook kegelsneden, maar deze worden ontaard genoemd om ze van deze vier te onderscheiden.

Oppervlak en inhoud[bewerken]

De oppervlakte A van een kegel is: .

Voor de inhoud V geldt: .

r de straal van de basis
h de hoogte van de kegel
l de lengte van het schuine oppervlak, van top tot cirkelrand
de oppervlak van de platte bodem.
het oppervlak van de mantel.

Minimum oppervlak van een kegel[bewerken]

Minimum oppervlakte van een kegel met een volume van 1000 cm3

Van alle denkbare kegels met gelijke inhoud V is een kegel met het kleinste oppervlak A de kegel waarvoor geldt dat , waarbij de straal r van de platte bodem is. De kegels, die congruent aan deze kegel zijn, zijn de kegels, waarvoor het isoperimetrisch quotiënt het grootst is: 0,5 of een half. In de figuur zijn uitgezet welke straal r en oppervlak A overeenkomen met een kegel met een inhoud van 1000 cm3.

Dit vraagt om enige toelichting in de vorm van een rekenvoorbeeld. Als uitgegaan wordt van een kegel met een inhoud van 1000 cm3 dan volgt hieruit, dat:

,

waaruit volgt:

vast is. Hiermee is de kegel te berekenen met de kleinste oppervlak A. Het blijkt, dat het kleinste oppervlak:

,

ligt bij r = 6,9632 cm, zoals ook de bijbehorende grafiek laat zien. Stralen groter of kleiner dan deze waarde leiden tot grotere oppervlakken. Uit de minimumwaarde voor r valt h af te leiden:

De randvoorwaarde geldt voor iedere r > 0. Immers,

(1) en dus

Deze functie heeft een minimum voor en dat geldt bij

Boven, in (1) invullen geeft de randvoorwaarde.