Alajbegović speelde vanaf zijn zesde levensjaar in de jeugd van 1. FC Köln en maakte in 2021 de overstap naar de opleiding van Bayer Leverkusen. Hier tekende hij in januari 2025 zijn eerste professionele contract.[1] In de zomer van datzelfde jaar verkaste Alajbegović voor een bedrag van circa twee miljoen euro naar Red Bull Salzburg, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[2] Zijn officiële debuut maakte hij op 23 juli, toen hij in de voorrondes van de UEFA Champions League tegen SK Brann (1–4 zege) van coach Thomas Letsch in de tweede helft mocht invallen voor Oscar Gloukh.[3] Drie dagen later scoorde hij voor het eerst. In de ÖFB-Cup besliste hij de eindstand tegen Union Dietach op 0–4.[4]