Kern (algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra beeldt een lineaire afbeelding een ruimte met een zekere dimensie n af in een andere ruimte. Daarbij hoeft de dimensie van het beeld niet gelijk te zijn aan de dimensie van het domein, maar kan kleiner zijn. Er zijn "dimensies verdwenen". De oorzaak daarvan is dat een deel van het domein op de nulvector wordt afgebeeld. Dat deel is een lineaire deelruimte van het domein en wordt de kern of nulruimte van de lineaire afbeelding genoemd.

Definitie[bewerken]

De kern of nulruimte van een lineaire afbeelding f : V \to W, is de verzameling van alle vectoren uit V, die onder f op de nulvector van W worden afgebeeld:

 N(f) = \{ x \in V | f(x) = 0\}.

De kern is een lineaire deelruimte van V.


Ook voor een matrix is de eigenschap kern gedefinieerd. Het is de kern van de als lineaire afbeelding opgevatte matrix, dus:

De kern van een matrix A is de verzameling van vectoren v waarvoor geldt dat Av=0:

 \!N(A) = \{ v \in dom(A)  | Av = 0\}.

De nulruimte van een lineaire afbeelding wordt in sommige werken ook met ker(A) aangeduid, "ker" is afkomstig van een afkorting voor het Engelse "kernel".

Nulliteit[bewerken]

De nulliteit ν van een lineaire afbeelding of matrix is de dimensie van de kern van die lineaire afbeelding of matrix. Intuïtief is dit begrip als volgt te duiden: een matrix die uit niets anders dan nullen bestaat, heeft meer nulliteit dan een matrix waarvan de determinant nul is, maar waarvan alle minoren verschillend van nul zijn.

Eigenschappen[bewerken]

Dimensiestelling
Een lineaire afbeelding f is injectief dan en slechts dan als de kern van f alleen de nulvector bevat.

Andere betekenis[bewerken]

De operatorentheorie hanteert een andere betekenis voor de term kern, zie gesloten operator.