Kern (algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De kern of nulruimte van een lineaire afbeelding is het deel van het domein dat op de nulvector wordt afgebeeld. Zoals de naam nulruimte al suggereert, is die kern zelf een lineaire deelruimte van het domein.

In de lineaire algebra beeldt een lineaire afbeelding een ruimte met een zekere dimensie n af in een andere ruimte. Daarbij hoeft de dimensie van het beeld niet gelijk te zijn aan de dimensie van het domein, maar kan kleiner zijn. Er zijn "dimensies verdwenen". De oorzaak daarvan is dat een deel van het domein op de nulvector wordt afgebeeld. Dat deel is een lineaire deelruimte van het domein en wordt de kern of nulruimte van de lineaire afbeelding genoemd.

Definitie[bewerken]

De kern of nulruimte van een lineaire afbeelding is de verzameling van alle vectoren uit die onder op de nulvector van worden afgebeeld:

De kern is een lineaire deelruimte van

Voor matrices is de kern op dezelfde manier gedefinieerd. Het is de kern van de als lineaire afbeelding opgevatte matrix, dus:

De kern van een matrix is de verzameling van vectoren waarvoor geldt dat

De nulruimte van een lineaire afbeelding wordt in sommige werken ook met aangeduid, "ker" is afkomstig van een afkorting voor het Engelse kernel.

Voorbeeld[bewerken]

De loodrechte projectie van de 'gewone' driedimensionale euclidische ruimte op het xy-vlak is een lineaire afbeelding. Het domein is de gehele ruimte , maar het beeld is alleen het xy-vlak, dus tweedimensionaal. De kern van deze afbeelding is de z-as, die in zijn geheel op de oorsprong (nulvector) van wordt afgebeeld.

Bereik[bewerken]

Een vierkante matrix, die kan worden geïnverteerd, definieert een lineaire afbeelding van op zichzelf: .

Het bereik van is de deelverzameling van alle punten in de , die het beeld van een punt , ook in , zijn. en zijn over het algemeen verschillend, maar mogen hetzelfde zijn. De som van de dimensie van het bereik van en de dimensie van de kern van is volgens de dimensiestelling gelijk aan de dimensie van , dus :

.

Dat betekent dat een lineaire afbeelding van op zichzelf dan en slechts dan injectief is, als de kern van alleen de nulvector bevat.

Nulliteit[bewerken]

De nulliteit van een lineaire afbeelding of matrix is de dimensie van de kern van die lineaire afbeelding of matrix. Intuïtief is dit begrip als volgt te duiden: een matrix die uit niets anders dan nullen bestaat, heeft meer nulliteit dan een matrix waarvan de determinant nul is, maar waarvan alle minoren verschillend van nul zijn.

Andere betekenis[bewerken]

De operatorentheorie hanteert een andere betekenis voor de term kern, zie gesloten operator.