Kleene-ster

In de wiskunde en informatica is de Kleene-ster een unaire operator op een verzameling strings of een verzameling symbolen. Het toepassen van de Kleene-ster op de verzameling $V$ wordt genoteerd als $V^{*}$. De operator wordt veel gebruikt in reguliere expressies waarin hij geïntroduceerd werd door Stephen Kleene om eindige automaten te karakteriseren.

1. Als $V$ een verzameling strings is, wordt de Kleene-ster gedefinieerd als de kleinste superset van $V$ die $\epsilon$ (de lege string) bevat en die gesloten is onder concatenatie van strings.
2. Als $V$ een verzameling symbolen is, is $V^{*}$ de verzameling met alle strings van symbolen uit $V$, inclusief de lege string.

Definitie

We definiëren

$V_{0}=\{\epsilon \}$

en op recursieve wijze de verzameling:

$V_{i+1}=\{wv\mid w\in V_{i}{\mbox{ en }}v\in V\}$, met $i\geq 0$.

Als $V$ een formele taal is, dan bevat $V_{i}$ alle mogelijke strings die ontstaan door $i$ keer een element uit $V$ te nemen (mogelijk dezelfde) en deze te concateneren.

De Kleene-ster kan nu gedefinieerd worden als:

$V^{*}=\bigcup _{i=0}^{\infty }V_{i}=\left\{\epsilon \right\}\cup V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \ldots$

$V^{*}$ bevat dus alle mogelijke strings met eindige lengte die gegenereerd kunnen worden met symbolen uit $V$.

Voorbeelden

De Kleene-ster van een verzameling met strings:

$\{ab,c\}^{*}=\{\epsilon ,ab,c,abab,abc,cab,cc,ababab,ababc,abcab,abcc,cabab,cabc,ccab,ccc,\ldots \}$

De Kleene-ster van een verzameling met symbolen:

$\{a,b,c\}^{*}=\{\epsilon ,a,b,c,aa,ab,ac,ba,bb,bc,\ldots \}$

Generalisatie

De Kleene-ster wordt vaak gegeneraliseerd voor een willekeurige monoïde $(M,{\circ })$, een verzameling $M$ en een binaire operatie $\circ$ op $M$, zodanig dat:

• (geslotenheid) $\forall a,b\in M:~a\circ b\in M$
• (associativiteit) $\forall a,b,c\in M:~(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$