Knoop (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is een knoop een continue vervorming (isotopie) van een cirkel die ingebed is in de driedimensionale Euclidische ruimte R3. De cirkel zelf is de triviale knoop, met kruisingsgetal nul.

Er zijn belangrijke verschillen tussen de standaard wiskundige notie van een knoop en de alledaagse knoop in een touw:

  • Wiskundige knopen zijn gesloten. Een wiskundige knoop heeft dus geen losje eindjes om te strikken of te ontstrikken.
  • Natuurkundige eigenschappen zoals wrijving en dikte zijn gewoonlijk niet van toepassing, hoewel er wiskundige definities van een knoop zijn die dergelijke eigenschappen in beschouwing nemen.

De term knoop wordt ook toegepast op inbeddingen van in , met name in het geval dat . Het deelgebied van de wiskunde dat knopen bestudeert, staat bekend als de knopentheorie.

Definitie[bewerken]

Een knoop is een equivalentieklasse van inbeddingen (continue injecties) van de topologische cirkel in de driedimensionale Euclidische ruimte. Twee inbeddingen zijn equivalent als er een continue vervorming van de Euclidische ruimte bestaat die de ene inbedding in de andere vervormt (en die tijdens de vervorming een inbedding blijft, dus de lus snijdt zichzelf niet):

Alle inbeddingen van de cirkel hebben beeldverzamelingen die per definitie topologisch equivalent zijn, want ze zijn allemaal homeomorf met de cirkel zelf. Het interessante topologische object is het knoopcomplement van de beeldverzameling. Krachtens een stelling van Gordon en Luecke zijn twee knopen die topologisch equivalente complementen hebben, gelijk of elkaars spiegelbeeld. De studie van knopen kan dus worden herleid tot de studie van driedimensionale variëteiten.

Als twee inbeddingen van de cirkel in de ruimte door hetzelfde diagram worden voorgesteld, behoren ze tot dezelfde equivalentieklasse (dezelfde knoop). Ook als de diagrammen in elkaar kunnen worden vervormd zonder het aantal of de oriëntatie van de snijpunten te wijzigen, stellen ze dezelfde knoop voor.

Het omgekeerde is echter niet waar. Eenzelfde knoop kan worden voorgesteld door knoopdiagrammen met verschillende aantallen snijpunten. Bijvoorbeeld: een tekening van een cirkel zonder snijpunten stelt de triviale knoop voor, maar een tekening van het cijfer acht doet dat ook.

Externe link[bewerken]