Koordenvierhoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Koordenvierhoeken

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen. Elk van de zijden is dus een koorde van deze omgeschreven cirkel. De som van de overstaande hoeken in een convexe koordenvierhoek is 180 graden. Het bewijs hiervan steunt op eigenschappen van middelpunts- en omtrekshoeken.

Elke vierhoek met een symmetrieas die haaks staat op twee parallelle zijden is een koordenvierhoek; dit geldt dus voor rechthoeken, vierkanten en gelijkbenige trapezia. Een trapezium dat niet gelijkbenig is, kan geen koordenvierhoek zijn. Een ruit evenmin, met uitzondering van het vierkant, dat als ruit te beschouwen is. Vliegers en onregelmatige, convexe vierhoeken kunnen wel koordenvierhoeken zijn.

Een vierhoek is dan en slechts dan een koordenvierhoek als aan een van volgende voorwaarden voldaan is:

  • De som van de overstaande hoeken van een convexe vierhoek is 180 graden.
  • , de stelling van Ptolemaeus


Voor de oppervlakte van een koordenvierhoek geldt de formule van Brahmagupta:

hierin zijn a, b, c en d de lengtes van de zijden, en is s de halve omtrek. De formule van Heron is hiervan een bijzonder geval, met d = 0.

Diagonaaldriehoeken[bewerken]

De diagonaaldriehoeken van een koordenvierhoek (driehoeken met drie van de vier hoekpunten) hebben allerlei bijzondere eigenschappen: