Kubusgetal

In de rekenkunde en de algebra is een kubusgetal een natuurlijk getal dat de derde macht is van een natuurlijk getal. Het natuurlijke getal $k$ is dus een kubusgetal als er een natuurlijk getal $n$ is, zodanig dat:

$k=n^{3}$

De eerste tien kubusgetallen zijn:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …

Een kubusgetal is een figuratief getal, waarvan de naam afgeleid is van de meetkundige vorm van de kubus. Een aantal bolletjes ter grootte van een kubusgetal kan opgestapeld worden tot een kubus. Zo laat zich bijvoorbeeld een kubus met ribbe 3 (bolletjes) opbouwen met behulp van 27 bolletjes.

Een volgend kubusgetal wordt verkregen door bij de kubus met $n^{3}$ bolletjes 3 vlakken met $n^{2}$ bolletjes, 3 ribben met $n$ bolletjes en nog een hoekpunt van 1 bolletje te plaatsen. Daaruit volgt de recursieve betrekking tussen de opeenvolgende kubusgetallen;

$(n+1)^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1$

Eigenschappen

Uit de opeenvolgende blokken van een, twee, drie, vier, vijf, … oneven natuurlijke getallen in klimmende reeks kan men door sommering kubusgetallen laten ontstaan:

$\underbrace {1} _{1}\ \underbrace {3\ 5} _{8}\ \ \underbrace {7\ 9\ 11} _{27}\ \ \underbrace {13\ 15\ 17\ 19} _{64}\ \ \ \underbrace {21\ 23\ 25\ 27\ 29} _{125}\ \ldots$

Hieruit blijkt dat elk kubusgetal n³ de som is van n opeenvolgende oneven getallen.

Uitgaande van de rij van de gecentreerde zeshoeksgetallen: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … verkrijgt men het $n$-de kubusgetal als de som van de eerste $n$ elementen van de rij:

${\begin{aligned}1&=1\\8&=1+7\\27&=1+7+19\\64&=1+7+19+37\\125&=1+7+19+37+61\\\ldots &=\ldots \end{aligned}}$

De som van de eerste $n$ kubusgetallen is gelijk aan het kwadraat van het $n$-de driehoeksgetal:

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

Elk natuurlijk getal kan als de som van ten hoogste negen kubusgetallen weergegeven worden (oplossing van het probleem van Waring voor de macht 3). Dat er 9 sommanden nodig kunnen zijn laat het getal 23 zien. Dit getal kan worden weergegeven als

$23=8+8+1+1+1+1+1+1+1$,

maar het zal duidelijk zijn dat het niet met minder kubusgetalsommanden kan.

Kubusgetallen als som van rijen

Elk kubusgetal $n^{3}$ is de som van een rekenkundige rij van $n$ getallen, met als eerste element $n$ en als verschil $2n$:

• 2³ = 2 + 6
• 3³ = 3 + 9 + 15
• 4³ = 4 + 12 + 20 + 28
• 5³ = 5 + 15 + 25 + 35 + 45
• 6³ = 6 + 18 + 30 + 42 + 54 + 66
• 7³ = 7 + 21 + 35 + 49 + 63 + 77 + 91 ...

Elk kubusgetal $n^{3}$ is ook de som van een rekenkundige rij van $n$ getallen, met als eerste element $n^{2}-n+1$ en als verschil 2 (zoals hierboven reeds aangegeven):

• 2³ = 3 + 5
• 3³ = 7 + 9 + 11
• 4³ = 13 + 15 + 17 + 19
• 5³ = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
• 6³ = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
• 7³ = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 ...

Elk kubusgetal $n^{3}$ is verder ook de som van een rekenkundige rij van $n$ getallen, met als eerste element $(n-2)^{2}$ en als verschil 8:

• 2³ = 0 + 8
• 3³ = 1 + 9 + 17
• 4³ = 4 + 12 + 20 + 28
• 5³ = 9 + 17 + 25 + 33 + 41
• 6³ = 16 + 24 + 32 + 40 + 48 + 56
• 7³ = 25 + 33 + 41 + 49 + 57 + 65 + 73 ...

De som van alle getallen in een vierkant van $n$ op $n$ vakjes, linksboven verankerd in deze oneindig uitbreidbare tabel, is gelijk aan de derdemacht van $n$

Elk kubusgetal $n^{3}$ is bovendien ook de som van een rekenkundige rij van $n$ getallen, met als eerste element $n(n+1)/2$ en als verschil $n$:

• 2³ = 3 + 5
• 3³ = 6 + 9 + 12
• 4³ = 10 + 14 + 18 + 22
• 5³ = 15 + 20 + 25 + 30 + 35
• 6³ = 21 + 27 + 33 + 39 + 45 + 51
• 7³ = 28 + 35 + 42 + 49 + 56 + 63 + 70...

Ieder getal in zo een rij is zelf de som van $n$ opeenvolgende getallen; bijvoorbeeld voor 5³:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6

25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7

30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8

35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Een kubusgetal $n^{3}$ is dus de som van alle getallen in een $n$ op $n$ vierkant met in de eerste rij de getallen 1 tot en met $n$ en waarin de getallen in een volgende rij steeds één hoger zijn dan het getal erboven. De som van de getallen op de diagonalen van dit vierkant is het kwadraatgetal $n^{2}$.

Een alternatieve manier om dit uit te drukken is: als $N$ de som van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met $n$ is, dan is

$n^{3}=N+(N+n)+(N+2n)+\ldots +(N+(n-1)n)$

Deze eigenschap is voor het eerst in 1763 door Georg Christoph Lichtenberg opgemerkt.

Externe link

• (en) Kubusgetal op MathWorld

Bronnen, noten en/of referenties