Lagrange-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Lagrange-polynoom is in de numerieke analyse een polynoom die bij een set punten op de x-as hoort en in een van de punten de waarde 1 aanneemt en in de overige punten de waarde 0. Een Lagrange-polynoom is genoemd naar Joseph-Louis Lagrange, maar werd het eerst beschreven in 1779 door Edward Waring, en herontdekt in 1783 door Leonhard Euler. Lagrange-polynomen worden gebruikt om van een onbekende functie f, waarvan slechts in een eindig aantal punten xi de waarde f(xi) bekend is, de waarde in tussengelegen punten te benaderen door een lineaire combinatie van (Lagrange-)polynomen die bij de punten xi horen.

Definitie[bewerken]

Bij de n + 1 punten x_0, x_1,\ldots, x_n horen de n + 1 Lagrange-polynomen

\ell_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.

Eigenschappen[bewerken]

Voor de Lagrange-polynoom \ell_{i} geldt:

\ell_{i}(x_i) = 1

en

\ell_{i}(x_k) = 0, \mbox{voor }k\ne i.

Toepassing[bewerken]

Als van de functie f de waarde in de n + 1 punten x_0, x_1,\ldots, x_n bekend is, kan f benaderd worden door de polynoom

P(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)\ell_i(x).

Zie ook[bewerken]