Laguerre-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Laguerre:

De oplossing is een polynoom van de graad n, het n-de de laguerre-polynoom, laat zich volgens de rodriguez-formule weergeven als

Laguerre-polynomen vinden een toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij de orde van de polynoom wordt aangeduid met n! (n faculteit), in plaats van n.

Eerste Laguerre-polynomen[bewerken]

De eerste 5 laguerre-polynomen.


n
0
1
2
3
4
5
6

Recursie[bewerken]

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

en

Orthogonaliteit[bewerken]

Laguerre-polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar met betrekking tot het volgende inproduct:

Contourintegraal[bewerken]

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

Gegeneraliseerde laguerre-polynomen[bewerken]

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]