Laguerre-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De eerste 5 laguerre-polynomen.

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de -de differentiaalvergelijking van Laguerre:

Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

De -de laguerre-polynoom is een polynoom van de graad die gegeven wordt door de rodriguez-formule:

Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij -de laguerre-polynoom een factor ( faculteit) groter is.

De eerste laguerre-polynomen zijn:

0
1
2
3
4
5
6

Recursie[bewerken | brontekst bewerken]

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

en

Orthogonaliteit[bewerken | brontekst bewerken]

Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

Er geldt:

met

de kronecker delta

Contourintegraal[bewerken | brontekst bewerken]

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

Gegeneraliseerde laguerre-polynomen[bewerken | brontekst bewerken]

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]