Laguerre-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De eerste 5 laguerre-polynomen.

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Laguerre:

De oplossing is de -de laguerre-polynoom , een polynoom van de graad , die zich laat weergeven volgens de rodriguez-formule als

Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij de orde van de polynoom wordt aangeduid met ( faculteit), in plaats van .

De eerste laguerre-polynomen zijn:

0
1
2
3
4
5
6

Recursie[bewerken | brontekst bewerken]

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

en

Orthogonaliteit[bewerken | brontekst bewerken]

Laguerre-polynomen zijn onderling orthogonaal met betrekking tot het volgende inproduct:

Contourintegraal[bewerken | brontekst bewerken]

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

Gegeneraliseerde laguerre-polynomen[bewerken | brontekst bewerken]

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]