Landaufunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de wiskunde geeft de landaufunctie , genoemd naar Edmund Landau, van een natuurlijk getal de grootste orde (of periode) van een element van de symmetrische groep

Alternatief kan men definiëren: is de grootste orde van een permutatie van elementen, dit is het maximaal aantal maal dat een permutatie van elementen recursief op zichzelf kan worden toegepast alvorens men de oorspronkelijke volgorde terug bekomt.

Nog een andere formulering is: is het grootste kleinste gemene veelvoud van alle partities van elementen.

Voorbeeld[bewerken]

In de onderstaande tabel staan voor de mogelijke partities van het getal 6 en het kleinste gemene veelvoud van de getallen van de partitie.

aantal partitie kgv
6 1+1+1+1+1+1 1
5 1+1+1+1+2 2
4 1+1+1+3 3
4 1+1+2+2 2
3 1+1+4 4
3 1+2+3 6
3 2+2+2 2
2 1+5 5
2 2+4 4
2 3+3 3
1 6 6

Het grootste kgv van de getallen in de parties is 6, dus de landaufunctie is

De eerste waarden van de landaufunctie zijn:[1]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 2 3 4 6 6 12 15 20 30 30 60 60 84 105

Deléglise, Nicolas en Zimmermann ontwikkelden een algoritme om de waarde van voor tot 1015 te berekenen.[2]

Landau bewees in 1902[3] dat

(hierin is de natuurlijke logaritme). Deze verhouding heeft een maximale waarde van die vermoedelijk bereikt wordt bij

is een benadering van de grootste priemfactor van .[4]

Men kan ook bewijzen dat: