Laurentreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een Laurentreeks is gedefinieerd ten opzichte van een punt c en een integratieweg γ die in een ring (hier rood) moet liggen, waarbinnen de functie analytisch is

De Laurentreeks van een complexe functie is in de wiskunde een voorstelling van als een machtreeks met eventueel ook termen met een negatieve macht. Een Laurentreeks kan soms toegepast worden als een Taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde.

Definitie[bewerken]

De Laurentreeks van een complexe functie in het punt is de machtreeks

waarin de coëfficiënten gegeven worden door de kringintegraal

over een gesloten contour tegen de klok in. De contour moet een rectificeerbaar pad zijn dat zichzelf niet snijdt, het punt bevatten, en in een ringvormig gebied liggen waarbinnen analytisch is. De ontwikkeling van geldt overal binnen de genoemde ring.

In de praktijk blijken de integralen vaak moeilijk te berekenen, en maakt men gebruik van bekende Taylorontwikkelingen om de Laurentreeks samen te stellen.

Voorbeeld[bewerken]

Om in het punt de Laurentreeks van de functie

te bepalen, moeten de integralen

over een contour om berekend worden. Direct is te zien dat:

en

die weer als meetkundige reeks geschreven kan worden:

Daarmee wordt, na vermenigvuldiging met 1/(z - i), de Laurentreeks

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]