Lemma van Nakayama

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

Het lemma van Nakayama is een stelling uit de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde. Ze legt beperkende voorwaarden op aan eindig voortgebrachte modulen die door vermenigvuldiging met een ideaal niet wezenlijk verkleind worden.

Het lemma is genoemd naar zijn auteur Tadashi Nakayama. Volgens Hideyuki Matsumura schreef Nakayama zelf de stelling evenwel toe aan Wolfgang Krull en Goro Azumaya.

Formuleringen[bewerken]

In de verschillende formuleringen hieronder is een commutatieve ring met eenheidselement, een ideaal van en een eindig voortgebracht -moduul. Dat laatste wil zeggen dat er elementen van bestaan met de eigenschap dat

Determinantformulering[bewerken]

Zij een moduul-endomorfisme (-lineaire transformatie) van waarvan het beeld binnen ligt. Dan voldoet aan een relatie van de vorm

Deze vorm van het lemma kan rechtstreeks worden bewezen met een variant van de Stelling van Cayley-Hamilton.

Formulering met algemeen ideaal[bewerken]

Veronderstel dat , dan bestaat er een element van dat congruent is met 1 modulo en dat annihileert, dat wil zeggen

Formulering met Jacobson-radicaal[bewerken]

Veronderstel dat en dat bevat is in het Jacobson-radicaal (de doorsnede van alle maximale idealen) van Dan is

Formulering met deelmoduul[bewerken]

Als een deelmoduul is van met de eigenschap dat en is een deel van het Jacobson-radicaal van dan is

Toepassing[bewerken]

Uit de ideaalformulering volgt tamelijk rechtstreeks de volgende generalisatie van een bekend resultaat uit de lineaire algebra:

Een surjectief endomorfisme van een eindig voortgebracht -moduul is ook injectief (en dus een automorfisme).

Bewijs[bewerken]

Zij de gegeven surjectieve -lineaire transformatie van en vat op als moduul over de veeltermring met de afspraak dat voor ieder gegeven element van Zij het ideaal van dat wordt voortgebracht door het element Dan is (surjectiviteit van ) en dus bestaat er wegens Nakayama een element van dat congruent is met 1 modulo en dat annihileert:

Schrijf als Dan is de kern van triviaal. Zij namelijk een element van die kern, dan is

Dus de kern van bevat alleen 0.

Bronnen[bewerken]