Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Lichaam (Ned) / veld (Be))
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
algebraïsche
structuren

magma
halfgroep
monoïde
groep
ring / ideaal
lichaam/veld

moduul
vectorruimte
algebra

categorie
tralie
boolealgebra

Een lichaam (Nederlands-Nederlandse term) of veld (Belgisch-Nederlandse term)[bron?], niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze uitgevoerd kunnen worden. In het Engelse taalgebied spreekt men van 'field', en in het Duitse taalgebied van 'Körper'. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam (Nederlands-Nederlands) of eindig veld (Belgisch-Nederlands).

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een lichaam of veld is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling) en bovendien optelling en de vermenigvuldiging beide associatief en commutatief zijn. Bovendien is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal bestaande uit een niet-lege verzameling waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen en uit noteert men meestal met en de vermenigvuldiging van en met of kortweg . De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met of en het product dienovereenkomstig met respectievelijk of .

De optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen aan de volgende voorwaarden.

  1. Voor alle elementen en in , behoren ook en tot .
    is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging.
    Of ook: zowel de optelling als de vermenigvuldiging zijn intern over .
  2. Voor alle elementen en in , is
    en .
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
  3. Er bestaat in een element zodat voor alle uit geldt:

    Het element heet het neutrale element voor de optelling.
  4. Voor elk element in bestaat er een element in , zodat
    en
    Ieder element in heeft een invers element voor de optelling.
  5. Voor alle elementen en in is
    en
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn commutatief.
  6. Voor alle elementen en in is

    De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
  7. Er bestaat in een element zodat voor elk element in geldt:

    Het element is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van genoemd.
  8. Voor elk element in verschillend van bestaat er een element in zodat

    Elk element in ongelijk aan heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
  9. is niet gelijk aan .

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die slechts één element bevat, namelijk het element , een lichaam/veld zijn, en dat is ongewenst.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat ook een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel dat de vermenigvuldiging commutatief is (voorwaarde 9), dan is er sprake van een delingsring of scheeflichaam (Nederlands-Nederlandse term) of lichaam (Belgisch-Nederlandse term).

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en respectievelijk 7, 8 en 9, analoge voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil (aftrekken) wordt gedefinieerd door . De deling (door een element ongelijk aan nul) wordt gedefinieerd door .

Alternatieve formulering[bewerken | brontekst bewerken]

Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld ook gedefinieerd worden door:

  • is een commutatieve groep
  • is een commutatieve groep
  • de bewerking is distributief over de bewerking .

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

De reële getallen () met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormen een lichaam/veld; idem voor de rationale getallen () en de complexe getallen ().

De gehele getallen () vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen geen invers element hebben voor de vermenigvuldiging.

Als een lichaam/veld is, vormen de rationale functies (veeltermbreuken) in veranderlijken over op hun beurt een lichaam/veld.

De restklassen modulo vormen een eindig lichaam/veld als een priemgetal is.

Deellichaam[bewerken | brontekst bewerken]

Een deellichaam van een lichaam is een deelverzameling die de elementen 0 en 1 bevat, en gesloten is met betrekking tot optelling, tegengestelde, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam.

Voorbeelden:

  • De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
  • De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
  • Het lichaam , met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element en daarmee ook heeft. Voor het speciale element geldt . Er wordt modulo 2 gerekend, dus (zie Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)).

Geordend lichaam[bewerken | brontekst bewerken]

Een geordend lichaam is een lichaam met een compatibele totale orde, wat wil zeggen dat voor de bijbehorende strikte totale orde < geldt:[1]

  • als dan
  • als en dan

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Een eindig lichaam kan niet een geordend lichaam zijn.
  • Een deellichaam van een geordend lichaam is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • De reële getallen
  • Enkele achtereenvolgende deellichamen van de reële getallen:
    • De algebraïsche getallen
    • De doorsnede van alle deellichamen van de reële getallen die bevatten (dit zijn de functiewaarden van de rationale functies als het argument is, of nog anders gezegd, de waarden met en rationale getallen)
    • De rationale getallen

Gerelateerde onderwerpen[bewerken | brontekst bewerken]