Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, zijn velduitbreidingen (de term in Vlaanderen) of lichaamsuitbreidingen (de term in Nederland) de voornaamste objecten van studie in de veldtheorie. Het algemene idee is om te starten met een basisveld (Vlaamse term) en vervolgens op enigerlei wijze een uitgebreider veld te construeren dat zowel het basisveld bevat, maar ook aan aanvullende eigenschappen voldoet.

Wellicht het bekendste voorbeeld is de uitbreiding van de reële getallen (R) naar de complexe getallen (C). In R heeft de vergelijking x2 + 1 = 0 geen oplossingen. Voegt men echter een element (de imaginaire eenheid i) toe dat gedefinieerd is als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een veld te maken dat zowel alle elementen van R bevat alsook i, dan verkrijgt men het veld van de complexe getallen C, waarin alle algebraïsche vergelijkingen ten minste één oplossing hebben. In dit geval kan men dan ieder element van C uitdrukken als de som van een reëel getal en een reëel veelvoud van de imaginaire eenheid, t.t.z. als x + y i met x en y in R en i de imaginaire eenheid. Omdat deze velduitbreiding het gevolg is van het toevoegen van één element, is dit een voorbeeld van een enkelvoudige velduitbreiding.

Velduitbreidingen (Vlaamse term) kunnen worden veralgemeend naar ringuitbreidingen, op te vatten als een ring en een van haar deelringen.