Lie-algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een Lie-algebra een algebraïsche structuur, die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals Lie-groepen en differentieerbare variëteit. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "Lie-algebra" (genoemd naar Sophus Lie), werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl.

Definitie[bewerken]

Een Lie-algebra is een (niet noodzakelijk associatief) type algebra over een lichaam (in België: veld); het is een vectorruimte F samen met een binaire operatie [·, ·]

die de Lie-haak wordt genoemd en die voldoet aan de volgende axioma's:

voor alle scalairen a, b in F en voor alle elementen x, y, z in
voor alle elementen x, y in Wanneer F een veld is met karakteristiek twee, moet men een sterkere conditie opleggen:
voor alle x in
voor alle x, y, z in

Voor elke associatieve algebra A met vermenigvuldiging *, kan men een Lie-algebra L(A) construeren. Als een vectorruimte, L(A) gelijk is aan A, dan wordt de Lie-haak van de twee elementen van L(A) gedefinieerd als hun commutator in A:

De associativiteit van de vermenigvuldiging * in A impliceert de Jacobi-identiteit van de commutator in L(A). In het bijzonder geeft de associatieve algebra van n × n matrices over een veld F aanleiding tot de algemene lineaire Lie-algebra . De associatieve algebra A wordt de enveloping algebra van de Lie-algebra L(A) genoemd. Het is bekend dat elke Lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele enveloping algebra.

Voorbeelden[bewerken]

Het bijzondere geval, waarbij steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse Lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte over een willekeurig lichaam , een Lie-algebra.

Als een associatieve algebra is, dan kunnen we van dezelfde -vectorruimte een Lie-algebra maken met als productbewerking de ringcommutator

Als een gladde variëteit is, en zijn raakbundel, dan vormen de secties van een reële vectorruimte. De Lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een Lie-groep.

Representatiestelling[bewerken]

Elke Lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak