Lie-algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een lie-algebra een algebraïsche structuur die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals lie-groepen en differentieerbare variëteiten. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "lie-algebra", werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl. Lie-algebra's zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Sophus Lie, die de basis legde voor de studie hiervan.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een lie-algebra is een algebra over een lichaam (NL)/veld (B) , met als binaire operatie op de vectorruimte de zogeheten lie-haak:

die voldoet aan de volgende axioma's[1]:

voor alle scalairen en voor alle elementen
voor alle
Als de karakteristiek van verschillend is van 2, is dit gelijkwaardig met de eis dat
voor alle
voor alle

Associatieve algebra[bewerken | brontekst bewerken]

Voor elke associatieve algebra met vermenigvuldiging , kan men een lie-algebra construeren. Als vectorruimte is gelijk aan en de lie-haak wordt gedefinieerd als de commutator in :

De associativiteit van de vermenigvuldiging in impliceert de jacobi-identiteit van de commutator in . In het bijzonder geeft de associatieve algebra van -matrices over een lichaam/veld aanleiding tot de algemene lineaire lie-algebra . De associatieve algebra wordt de omhullende algebra van de lie-algebra genoemd. Het is bekend dat elke lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele omhullende algebra.

Andere voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Het bijzondere geval waarbij steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte over een willekeurig lichaam , een lie-algebra.

Als een gladde variëteit is, en haar raakbundel, dan vormen de sneden van een reële vectorruimte. De lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de lie-algebra van een lie-groep.

Representatiestelling[bewerken | brontekst bewerken]

Elke lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak