Lie-algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de wiskunde is een Lie-algebra een algebraïsche structuur, die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals Lie-groepen en differentieerbare variëteiten. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "Lie-algebra" (genoemd naar Sophus Lie), werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl.

Definitie[bewerken]

Een Lie-algebra is een (niet noodzakelijk associatief) type algebra over een lichaam (NL)/veld (B) , met als binaire operatie op de vectorruimte de zogeheten Lie-haak:

die voldoet aan de volgende axioma's[1]:

voor alle scalairen en voor alle elementen
voor alle
Als de karakteristiek van verschillend is van 2, is dit gelijkwaardig met de eis dat
voor alle
voor alle

Associatieve algebra[bewerken]

Voor elke associatieve algebra met vermenigvuldiging , kan men een Lie-algebra construeren. Als vectorruimte is gelijk aan en de Lie-haak wordt gedefinieerd als de commutator in :

De associativiteit van de vermenigvuldiging in impliceert de Jacobi-identiteit van de commutator in . In het bijzonder geeft de associatieve algebra van -matrices over een lichaam/veld aanleiding tot de algemene lineaire Lie-algebra . De associatieve algebra wordt de omhullende algebra van de Lie-algebra genoemd. Het is bekend dat elke Lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele omhullende algebra.

Andere voorbeelden[bewerken]

Het bijzondere geval waarbij steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse Lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte over een willekeurig lichaam , een Lie-algebra.

Als een gladde variëteit is, en zijn raakbundel, dan vormen de secties van een reële vectorruimte. De Lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een Lie-groep.

Representatiestelling[bewerken]

Elke Lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak