Lijst van integralen van exponentiële functies

Dit artikel bevat een lijst van integralen van exponentiële functies.

Onbepaalde integralen

In de onderstaande betrekkingen is c een willekeurige reëel getal.

$\int e^{{x}}\;{\mathrm {d}}x=e^{{x}}$

$\int e^{{cx}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{c}}e^{{cx}}$

$\int a^{{cx}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{c\cdot \ln a}}a^{{cx}}$ voor $a>0,\ a\neq 1$

$\int xe^{{cx}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {e^{{cx}}}{c^{2}}}(cx-1)$

$\int x^{2}e^{{cx}}\;{\mathrm {d}}x=e^{{cx}}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)$

$\int x^{n}e^{{cx}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{c}}x^{n}e^{{cx}}-{\frac {n}{c}}\int x^{{n-1}}e^{{cx}}{\mathrm {d}}x$

$\int {\frac {e^{{cx}}}{x}}\;{\mathrm {d}}x=\ln |x|+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(cx)^{n}}{n\cdot n!}}$

$\int {\frac {e^{{cx}}}{x^{n}}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{{cx}}}{x^{{n-1}}}}+c\int {\frac {e^{{cx}}}{x^{{n-1}}}}\,{\mathrm {d}}x\right)\qquad {\mbox{(voor }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int e^{{cx}}\ln x\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{c}}e^{{cx}}\ln |x|-\operatorname {Ei}\,(cx)$

$\int e^{{cx}}\sin bx\;{\mathrm {d}}x={\frac {e^{{cx}}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)$

$\int e^{{cx}}\cos bx\;{\mathrm {d}}x={\frac {e^{{cx}}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)$

$\int e^{{cx}}\sin ^{n}x\;{\mathrm {d}}x={\frac {e^{{cx}}\sin ^{{n-1}}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{{cx}}\sin ^{{n-2}}x\;{\mathrm {d}}x$

$\int e^{{cx}}\cos ^{n}x\;{\mathrm {d}}x={\frac {e^{{cx}}\cos ^{{n-1}}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{{cx}}\cos ^{{n-2}}x\;{\mathrm {d}}x$

$\int xe^{{cx^{2}}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2c}}\;e^{{cx^{2}}}$

$\int {\sqrt {e^{{cx}}}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {2{\sqrt {e^{{cx}}}}}{c}}$

$\int {\sqrt {e^{{cx^{n}}}}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {{\sqrt[ {n}]{2}}xe^{{-{\frac {cx^{n}}{2}}}}{\sqrt {e^{{cx^{n}}}}}\Gamma \left({\frac {1}{n}},-{\frac {cx^{n}}{2}}\right)}{n{\sqrt[ {n}]{-cx^{n}}}}}$

$\int e^{{-cx^{2}}}\;{\mathrm {d}}x={\sqrt {{\frac {\pi }{4c}}}}{\mbox{erf}}({\sqrt {c}}x)$ (${\mbox{erf}}$ is de zogenaamde errorfunctie)

$\int xe^{{-cx^{2}}}\;{\mathrm {d}}x=-{\frac {1}{2c}}e^{{-cx^{2}}}$

$\int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2}}\left(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

$\int e^{{x^{2}}}\,{\mathrm {d}}x=e^{{x^{2}}}\left(\sum _{{j=0}}^{{n-1}}c_{{2j}}\,{\frac {1}{x^{{2j+1}}}}\right)+(2n-1)c_{{2n-2}}\int {\frac {e^{{x^{2}}}}{x^{{2n}}}}\;{\mathrm {d}}x\quad {\mbox{geldig als }}n>0,$

waarbij $c_{{2j}}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{{j+1}}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{{2j+1}}}}\ .$

${\int \underbrace {x^{{x^{{\cdot ^{{\cdot ^{{x}}}}}}}}}_{m}\,dx=\sum _{{n=0}}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{{n-1}}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum _{{n=m+1}}^{\infty }(-1)^{n}a_{{mn}}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\mbox{(voor }}x>0{\mbox{)}}}$

waarbij $a_{{mn}}={\begin{cases}1&{\text{als }}n=0,\\{\frac {1}{n!}}&{\text{als }}m=1,\\{\frac {1}{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}ja_{{m,n-j}}a_{{m-1,j-1}}&{\text{alle andere gevallen}}\end{cases}}$

Bepaalde integralen

$\int _{0}^{1}e^{{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}}\;{\mathrm {d}}x=\int _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{{x}}\cdot b\;{\mathrm {d}}x=\int _{0}^{1}a^{{x}}\cdot b^{{1-x}}\;{\mathrm {d}}x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}$ voor $a>0,\ b>0,\ a\neq b$

$\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-ax}}\,{\mathrm {d}}x={\frac {1}{a}}$

$\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-ax^{2}}}\,{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$ (de Gauss-integraal)

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-ax^{2}}}\,{\mathrm {d}}x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-ax^{2}}}e^{{-2bx}}\,{\mathrm {d}}x={\sqrt {{\frac {\pi }{a}}}}e^{{{\frac {b^{2}}{a}}}}\quad (a>0)$

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}xe^{{-a(x-b)^{2}}}\,{\mathrm {d}}x=b{\sqrt {{\frac {\pi }{a}}}}$

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{2}e^{{-ax^{2}}}\,{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)$

$\int _{{0}}^{{\infty }}x^{{n}}e^{{-ax^{2}}}\,{\mathrm {d}}x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{{{\frac {n+1}{2}}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{{k+1}}a^{k}}}{\sqrt {{\frac {\pi }{a}}}}&(n=2k,{\mbox{met }}k\in {\mathbb {Z}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{{k+1}}}}&(n=2k+1,{\mbox{met }}k\in {\mathbb {Z}},a>0)\end{cases}}$ (!! is de dubbelfaculteit)

$\int _{{0}}^{{\infty }}x^{n}e^{{-ax}}\,{\mathrm {d}}x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{{n+1}}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{{n+1}}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}$

$\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-ax}}\sin bx\,{\mathrm {d}}x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-ax}}\cos bx\,{\mathrm {d}}x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{{0}}^{{\infty }}xe^{{-ax}}\sin bx\,{\mathrm {d}}x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{{0}}^{{\infty }}xe^{{-ax}}\cos bx\,{\mathrm {d}}x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{{0}}^{{2\pi }}e^{{x\cos \theta }}d\theta =2\pi I_{{0}}(x)$ ($I_{{0}}$ is de Besselfunctie van de eerste graad)

$\int _{{0}}^{{2\pi }}e^{{x\cos \theta +y\sin \theta }}d\theta =2\pi I_{{0}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$