Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een differentiaalvergelijking die in de vorm:

geschreven kan worden, met en beide continue functies op het open interval . Een mogelijke oplossingsmethode bestaat uit het omvormen tot twee differentiaalvergelijkingen die elk apart worden opgelost met de methode van scheiden van veranderlijken. Indien en beide constant zijn, heeft men een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten van de eerste orde.

Oplossingsmethode[bewerken | brontekst bewerken]

De oplossingsmethode kan op diverse manieren beschreven worden. Zoek een zogenaamde integratiefactor , waarvoor geldt:

Vermenigvuldig de beide leden van de differentiaalvergelijking met :

oftewel:

,

dus

Los eerst de vergelijking voor op:

zodat na integratie:

De integratieconstante kan ook weggelaten worden, omdat die wegvalt in de uiteindelijke oplossing.

Dan volgt voor :

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

De differentiaalvergelijking:

is lineair van eerste orde. Voor de integratiefactor geldt:

Met als oplossing:

De algemene oplossing is dus:


Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]