Lineaire afbeelding

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Lineaire operator)
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart, wat inhoudt dat zowel de optelling als de scalaire vermenigvuldiging behouden blijven. Het beeld van de som van vectoren is gelijk aan de som van de beelden, en het beeld van een (scalaire) veelvoud van een vector is gelijk aan hetzelfde veelvoud van het beeld. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten en modulen.

Definitie[bewerken]

Een afbeelding , waarbij en vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld) zijn, heet lineair als voor elk paar en elk element :

en

.

Zolang niet uitdrukkelijk gebruikgemaakt wordt van de omkeerbaarheid van scalairen, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor onder meer de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingen[bewerken]

De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte naar een vaste vectorruimte , beide over het lichaam , is met een geschikte optelling en vermenigvuldiging met een scalair zelf ook een vectorruimte over .

Voor de lineaire afbeeldingen en van naar wordt de som gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element de som van de beelden onder en toevoegt:

en wordt voor een element het veelvoud gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element het -veelvoud van het beeld onder toevoegt:

De verzameling is een deelruimte van de vectorruimte over van de functies van naar .


Van de lineaire afbeeldingen en , waarin en vectorruimten over het lichaam zijn, is ook de samenstelling een lineaire afbeelding:

.

Nulruimte en beeldruimte[bewerken]

De nulruimte of kern van een lineaire afbeelding is de verzameling van alle vectoren die door op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van , het bereik, heet ook de beeldruimte van . Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2[bewerken]

De afbeelding die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3[bewerken]

De afbeelding , is lineair. De bijbehorende matrix is:

Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het inwendig product van de argumentvector (x,y) met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het inwendig product van de argumentvector (x,y) met de onderste rij van de matrix.

Voorbeeld 4[bewerken]

De afbeelding is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring . De kern van deze afbeelding is het -moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm . Het beeld is , de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een -moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

Eigenschappen[bewerken]

Dimensiestelling[bewerken]

De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen luidt: Laat en eindigdimensionale vectorruimten zijn en een lineaire afbeelding van in . Dan is:

,

waarbij het beeld en de kern van is.

Uit deze stelling volgt onmiddellijk de alternatieve stelling:

Zij een lineaire afbeelding en , dan is injectief dan en slechts dan als surjectief is.

Hieruit volgt weer: als injectief of surjectief is, dan is een bijectie, en dus vanwege de lineariteit een isomorfisme.