Logaritmisch afleiden

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Logaritmisch afleiden is een rekenmethode om de afgeleide van bepaalde types van functies te berekenen. Door van de af te leiden functie eerst een natuurlijke logaritme te nemen wordt een product omgezet in een som, en wordt een macht omgezet in een product. Logaritmisch afleiden wordt in de eerste plaats gebruikt bij functies van de vorm f(x)^{g(x)}.

Werkwijze[bewerken]

Een functie van de vorm f(x)^{g(x)} is niet met de standaardregels van de afgeleide af te leiden omdat zowel de grondfunctie f(x) als de exponentfunctie g(x) van x afhangen. Deze moeilijkheid kan worden omzeild door eerst een logaritme te nemen. Stel dus dat:

h(x) = f(x)^{g(x)}

moet worden afgeleid naar x. Door links en rechts de natuurlijke logaritme te nemen vindt men:

\ln h(x) = g(x) \, . \, \ln f(x)

In het rechterlid staat nu een product dat wel kan worden afgeleid:

\frac{h'(x)}{h(x)} = g'(x) \, . \, \ln f(x) + g(x) \, . \,\frac{f'(x)}{f(x)}

en door de functie h(x) vanuit de noemer links terug naar het rechterlid te brengen:

h'(x) = f(x)^{g(x)} \left[ g'(x) \, . \, \ln f(x) + g(x) \, . \, \frac{f'(x)}{f(x)}\right]

Voorbeeld[bewerken]

De afgeleide van:

h(x) \, = \, x^{\sin(x)}

is:

h'(x) \, = \, x^{\sin(x)} \left[ \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right]

Gebruik bij producten en quotienten[bewerken]

Deze methode kan ook gebruikt worden indien een functie moet worden afgeleid die zelf het product en/of het quotiënt is van een aantal andere functies:

h(x) = \frac{f_1(x)\, . \, \dots \, .\, f_n(x)}{g_1(x)\, . \, \dots \, .\, g_m(x)}

Door de logaritme te nemen bekomt men:

\ln h(x) = \ln \, f_1(x) \, + \, \dots \, + \ln  f_n(x) - \ln g_1(x) - \dots - \ln \, g_m(x)

De afgeleide wordt dus:

\frac{h'(x)}{h(x)} =  \frac{f_1'(x)}{f_1(x)}  + \dots  + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)} - \frac{g_1'(x)}{g_1(x)}  - \dots  - \frac{g_m'(x)}{g_m(x)}

zodat tenslotte:

h(x) =  f_1(x)\, .\, f_2(x)\, . \, \dots \, .\, f_n(x) \left[\frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \dots + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)} - \frac{g_1'(x)}{g_1(x)} - \dots - \frac{g_m'(x)}{g_m(x)}\right]